一: 选择题1.lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的 【 B 】(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件2.若级数1n n u ∞=∑收敛于S ,则级数11()n n n u u ∞+=+∑ 【 C 】(A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数111113355779++++⋅⋅⋅⋅ 【 B 】(A)发散 （B ）收敛且和为12(C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为14.设a 为非零常数,且级数1nn a r∞=∑收敛,则 【 D 】(A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r >5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的 【 C 】(A)充分条件 （B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件6.下列结论正确的是 【 A 】(A)若21nn u ∞=∑,21nn v ∞=∑都收敛,则21()n n n u v ∞=+∑收敛(B) 若1n n n u v ∞=∑收敛,则21nn u ∞=∑,21n n v ∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若1n n u ∞=∑收敛,且n n u v ≥,则1n n v ∞=∑发散7.判别交错级数1111112221212333nn -+-++-+---的敛散性时下列说法中正确的是 【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞=,故收敛(B)因lim 0n n u →∞=,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛(C)因为级数11123n n n ∞=⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭∑收敛,故原级数收敛(D)以上三种做法都是错误的8.设2n nn a a p +=,2n nn a a q -=,1,2,n = ,则下列命题正确的是 【 B 】(A)若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛(B) 若1n n a ∞=∑绝对收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛(C) 若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑敛散性不定(D) 若1n n a ∞=∑绝对收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑敛散性不定9.设1n n a ∞=∑收敛,则11n n n a a n∞+=∑的敛散性是 【 D 】(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定 10.)1sin n ∞=∑的敛散情况是 【 A 】(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛(C)通项极限不为零,发散 (D) 通项极限为零,但发散二: 填空题1.级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为22ln 3-2. 级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和为143.幂级数0nn ∞=∑的收敛域是 [)1,1-4. 幂级数1112!nn n n n x n ∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑的收敛域是 22[,)e e -5.幂级数()21132n nnn nx∞-=-+∑的收敛半径___________R=6.幂级数()2119nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域是 (2,4)-7.函数项级数()12nn x ∞=-∑的收敛域是 1x < 或3x >8.设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径是3,则幂级数()11n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为(2,4)- 9.2xy =的麦克劳林公式中nx 项的系数是 (l n 2)!nn10.函数2()ln(1)f x x x =++在0x =处的幂级数展开式是3(1)11111n n n n xxn n -+∞∞==-+++∑∑三；综合题:1. 设级数1n n a ∞=∑,1n n b ∞=∑都收敛,且(1,2,)n n n a u b n ≤≤= ,求证级数1n n u ∞=∑收敛证明: 由(1,2,)n n n a u b n ≤≤= 0(1,2,)n n n n u a b a n ⇒≤-≤-=又因为级数1n n a ∞=∑,1n n b ∞=∑都收敛,所以由级数性质知1()n n n b a ∞=-∑也收敛,再由比较判别法知, 级数1()n n n u a ∞=-∑收敛,而级数111()n nn n n n n u ua a ∞∞∞====-+∑∑∑,所以由级数性质知1n n u ∞=∑收敛.2.设有方程10nx nx +-=,其中n 为正整数,证明: (1)此方程存在唯一实根n x ;(2)当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.证明(1)取()10n n f x x nx =+-=,则()n f x 在[]0,1上连续,且(0)10n f =-<,(1)0n f n =>,由零点存在定理可知存在()0,1n x ∈,使()0n n f x =,又1()0n n f x nx n -'=+>,[)0,x ∈+∞⇒()n f x 在[)0,+∞上严格递增⇒方程10nx nx +-=存在唯一正实根()0,1n x ∈.(2)由10n x nx +-=且()0,1n x ∈,有11100(1)nnn n x x x nnnααα-<=<⇒<<>又11n nα∞=∑收敛⇒1nn xα∞=∑收敛.3.设40tan nn a xdx π=⎰,(1)求()211n n n a a n∞+=+∑的值,(2)试证:对任意常数0λ>,级数1n n a nλ∞=∑收敛.解: (1) ()2244420tan tantan 1tan nn nn n a a xdx xdx x x dx πππ+++=+=+⎰⎰⎰42144011tan sec tan tan tan11n nn x xdx xd x xn n πππ+====++⎰⎰所以 ()211111(1)n n n n a a nn n ∞∞+==+==+∑∑.(2) 令tan t x =,arctan x t =1142110tan 11n nnn ta xdx dt t dt tn nπ<==<=<++⎰⎰⎰,对任意常数0λ>11λ⇒+>110n a nnλλ+⇒<<,又111n nλ∞+=∑收敛,由比较判别法知, 级数1n n a nλ∞=∑收敛.4.判别级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑的敛散性.解: ()11sin 1sin ln ln nn n n π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, 当2n ≥时,10ln 2nπ<<, 1sin0ln n>,故原级数是交错级数,又因为11sinsinln ln ()11ln ln n n n n n nn=⋅→+∞→∞ 故级数21sinln n n ∞=∑发散,即原级数不绝对收敛.设()1()sin2ln f x x x=≥,因10ln 2xπ<<,由2111()cos0ln ln f x x x x⎛⎫'=-⋅< ⎪⎝⎭,因此()f x 单调减少, 当2n ≥时,(1)()f n f n +<,即11sin sin ln(1)ln n n<+,且1lim sin0ln n n→∞=由莱布尼茨判别法知,原级数收敛,故原级数条件收敛. 5.设121a a ==,11(2,3,)n n n a a a n +-=+= ,证明当12x <时,幂级数11n n n a x ∞-=∑收敛,并求和函数.证明:由题设可知0n a >(1,2,3,)n = ,且n a 单调增加,而112n n n n a a a a +-=+< 即 1lim2n n na a +→∞≤故级数的收敛半径12R ≥,因而当12x <时,幂级数11n n n a x ∞-=∑收敛.设 11()n n n f x a x∞-==∑(12x <)则1123()n n n f x a a x a x ∞-==++∑1122211nnnn nn n n n x ax x ax ax ∞∞∞+-====++=+++∑∑∑1221221n n n n n n x x a xxax ∞∞---===+++∑∑121111n n n nn n x a xxax∞∞--===++∑∑21()()xf x x f x =++故 21()1f x x x=-- (12x <)6.求级数()21n n n x ∞=+∑的和函数.解: 因为212(2)1()(1)n na n n a n ++=→→∞+当1x =±时,lim n n a →∞=∞,故级数发散.从而收敛区间为(1,1)-,令()2()1(1)nn f x n xx ∞==+<∑于是()112()1()1(1)x n n n n x x f x dx n xx xx xx ∞∞++=='⎛⎫'=+===⎪--⎝⎭∑∑⎰, 两边求导得 31()(1)x f x x +=-, (1)x <7.求级数13nn n xn∞=∑的和函数,并求11(1)3n nn n+∞=-∑的和.解: 因为1131()3(1)3nn n na n n a n ++=→→∞+当3x =时,原级数为11n n∞=∑,是调和级数,故级数发散;当3x =-时,原级数为1(1)nn n∞=-∑,级数收敛.从而收敛区间为[3,3)-,令1()(33)3nnn xf x x n ∞==-≤<∑于是 1111111()3333n n nn n n xx f x x--∞∞-=='===-∑∑两边积分得13()()ln33x x f x f x dx dx xx'===--⎰⎰, (33)x -≤< 11(1)4(1)ln33n nn f n+∞=-=--=∑8.设级数()468242462468xxxx +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 的和函数为()S x ,求:(1) ()S x 所满足的一阶微分方程; (2) ()S x 的表达式.解:(1) 468()242462468xxxS x =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ,易见(0)0S =,357()224246xxxS x '=+++⋅⋅⋅246224246x x xx ⎛⎫=+++⎪⋅⋅⋅⎝⎭2()2x x S x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因此()S x 是初值问题32xy xy '=+,(0)0y =的解.,(2)方程32xy xy '=+的通解为2322122xxdxxdx x xy e e C C e -⎡⎤⎰⎰=+=--+⎢⎥⎣⎦⎰,由初始条件(0)0y =,得1C =,故22212xxy e=-+-,因此和函数222()12xxS x e=-+-.9.将函数12()arctan12x f x x-=+展开成x 的幂级数,并求级数()121nn n ∞=-+∑的和.解:因为()222()21414nnnn f x xx∞='=-=--+∑,11,22x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦又(0)4f π=,所以()200()(0)()2144x x n n n n f x f f t dt t dt π∞=⎡⎤'=+=--⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰()21142421nnn n xn π∞+=-=-+∑, 11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ 因为级数()121nn n ∞=-+∑收敛,函数()f x 在12x =处连续,所以()2114()2 421nnn n f x xn π∞+=-=-+∑,11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦令12x =,得 ()()21014111()2 =24212421n nnn n n f n n ππ∞∞+==⎡⎤--=-⋅-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑∑,再由1()02f =,得()11()0214244nn f n πππ∞=-=-=-=+∑. 10.设函数21arctan ,0()1,0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩,试将()f x 展开成x 的幂级数,并求级数()2114n n n∞=--∑的和.解:因为()22111nnn xx∞==-+∑,()1,1x ∈-故()()()221001arctan arctan 121nx xnnn n n x x dx x dx xn ∞∞+==-'==-=+∑∑⎰⎰,()1,1x ∈-于是()()2221011()12121nnnn n n f x xxn n ∞∞+==--=++++∑∑()()122111112121nn nnn n xxn n -∞∞==--=+++-∑∑()22112114nnn xn∞=-=+-∑,[]1,1x ∈-因此()[]2111(1)114242nnfnπ∞=-=-=--∑.。