第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然（ ) （A ） 绝对收敛; (B) 条件收敛; （C ） 发散； (D) 收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（ )。

（A) 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 1n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D ）11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑( )（A ） 1;S a + （B) 2;S a + （C ） 12;S a a +- （D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑（ )。

(A ） 绝对收敛; （B ） 条件收敛； （C ） 发散; (D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰，则1()2S -等于（ ） (A) 1;2- （B) 1;4- （C) 1;4 (D ） 12。

二、填空题1、 设14n n u ∞==∑，则111()22n nn u ∞=-=∑（ ） 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-,则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为（ ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ） 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =（ )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为( ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数，且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛。

四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证：对任意常数0λ>,级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+，所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B;4、C;5、B. 二、1、1;2、()4,2-;3、32；4、2π3;5、cos1sin1-。

三、1、答案：[)0,6。

2、答案:53ln 284- 提示：原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值。

而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可。

3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+。

提示： ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn nn n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑ 提示：()2011112!1!2!2nnn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ∞==--∈-∑提示:先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1nn f x x nx =+-，则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知，00110n x x n n -<=<，故当1α> 时,级数1n n x α∞=∑收敛。

四、提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。

因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于（ ) （A ） 1;- （B ） 0; （C ） 1; (D ） 2。

2、设闭曲线c 为1x y +=的正向,则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于（ ）(A ） 0; (B ） 2; （C ） 4; （D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=,则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于（ )（A) 29π;a （B) 26π;;a (C ） 23π;a （D) 0。

4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩,则d cx s ⎰等于（ )（A ） 23;a (B ） 0； (C ） 2;a （D ）213a 。

5、设∑为下半球z =的上侧,Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域,则d d z x y ∑⎰⎰不等于（ )(A ） d ;v Ω-⎰⎰⎰（B ） 2πd dr θ⎰⎰;（C) 2πd d ;ar θ-⎰⎰(D)()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a+=,则()2d cx y s -=⎰( )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s ∑⎰⎰等于( )4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于（ ）5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x -++⎰与路径无关，其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =( ） 三、计算与应用题 1、求()()xy sin d cos d LI ey b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =⎰，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ，问,,ξηζ取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值。

4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰。

5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，2()d d ()d d ed d 0xSxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x 。

答案:()e ()e 1x xf x x=- 提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x '+--=，解此微分方程即可。

四、证明题已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界,试证：(1）sin sin sin sin e d e d e d e d y xy xLLx y y x x y y x ---=-⎰⎰; （2）2sin sin 5πed e d 2yx Lx y y x --⎰≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、1、D ；2、C ；3、A;4、B;5、B 。

二、1、3πa -；2、4π-;3、；4、4π3;5、211x+。

三、1、答案：23ππ222I a b a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭.提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式。

2、答案:32π3I a =。

提示：利用变量“对等性"22231d d d d 3LLLLI y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰。