第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。

注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。

4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。

(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念 向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。

向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。

两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。

4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。

注 设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。

(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。

(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成 立，则称m ααα,,,21 线性无关。

注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。

4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系(1) β可由m ααα,,,21 线性表出⇔线性方程组[]βααα=x m ,,,21 有解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于矩阵[]βααα,,,,21m 的秩 (2)m ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 有非零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩小于m (3)m ααα,,,21 线性无关⇔齐次线性方程组[]0,,,21=x m ααα 只有零解⇔矩阵[]m ααα,,,21 的秩等于m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论(1) 仅含一个向量α的向量组线性相关⇔0=α(2) 任何含有零向量的向量组必线性相关(3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关(4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相关）注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意m 个n 维向量，当n m >时必线性相关(6) 向量组m ααα,,,21 )2(≥m 线性相关⇔m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余向量线性表出(7) 向量组m ααα,,,21 线性无关，而βααα,,,,21m 线性相关⇔β可由m ααα,,,21 线性表出，且表达式唯一(8) 若向量组（I ）r ααα,,,21 线性无关，且可由向量组（II ）s βββ,,,21 线性表出，则s r ≤(9) 不含零向量的正交向量组必线性无关4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩(1) 定义：设（I ）r i i i ααα,,,21 是（II ）m ααα,,,21 的一个部分组，并且满足：①ri i i ααα,,,21线性无关，②（II ）中任一向量()m k k ,,2,1 =α都可由（I ）线性表出。

则称部分组（I ）为原向量组（II ）的一个极大无关组，并称数r 为向量组（II ）的秩，记作r （II ）或{}m r ααα,,,21 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质：① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立⑥ 若向量组的秩为r ，则其中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组(3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系将n m ⨯矩阵A 按行或列分块[]n T m T T A βββααα 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=向量组（I ）T m T T ααα,,,21 ，（II ）n βββ,,,21 分别为A 的行向量组与列向量组，则r （A ）=r （I ）=r （II ）注1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式注2 T m T T ααα,,,21 线性无关⇔ r （A ）=mn βββ,,,21 线性无关⇔ r （A ）=n注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换4.1.7 极大无关组的求法(1) 录选法① 在向量组中任取一个非零向量作为1i α② 取一个与1i α的对应分量不成比例的向量作为2i α③ 取一个不能由1i α，2i α线性表出的向量作为3i α，继续作下去便可求得极大无关组注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组4.1.8 向量空间(1) 定义：在非空集合V 的元素间定义加法αβαk 和数乘+，若V 对所定义的加法与数乘封闭，即任意的V k V V ∈∈+∈αβαβα，有,，且加法满足： ①αββα+=+②)()(γβαγβα++=++③ 存在零元素αα=+∈00，有V④ 对任一元素α，存在负元素α-，使0=-+）（αα 数乘满足： ⑤αα=⋅1 ⑥αα)()(kl l k = 两种运算满足： ⑦βαβαk k k +=+)( ⑧αααl k l k +=+)(则称带有这种线性运算的集合V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向量空间,我们仅讨论向量空间。

注 所有n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间nR ，本书中所讨论的向量空间仅限于nR 或其子空间(2) 子空间：设有向量空间21,V V ，若21V V ⊆，则称21V V 为的子空间 注 向量空间V 的一个非空子集，若对V 上的线性运算封闭则是V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组m ααα,,,21 ，则m ααα,,,21 的所有线性组合构成的向量空间，称为由m ααα,,,21 生成的空间，记作()m span ααα,,,21 ，即(){}m i R t t t t spani m m m ,,2,1,|,,,221121 =∈+++==ααααααα 4.1.9 向量空间的基和维数(1) 基与维若向量空间V 中的一组向量r ααα,,,21 满足： ①r ααα,,,21 线性无关 ②每个可由αα,V ∈r ααα,,,21 ，即r r t t t αααα+++= 2211，则称r ααα,,,21 为V 的一组基，其所含向量个数r 为向量空间V 的维数，记作r V =dim ，也称V 为r 维向量空间，而称系数r t t t ,,,21 为α在基r ααα,,,21 下的坐标。

注1 一个向量空间V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，即为V dim ，可以推出n R n=dim 注2 向量α在一组基下的坐标是唯一的注3 任一向量空间V 必是其一组基r ααα,,,21 的生成空间，即()r span V ααα,,,21 =*（2）基变换与坐标变换 ①设n ααα,,,21 和n βββ,,,21 是向量空间nR 的两组基，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n t t t t t t t t t αααβαααβαααβ 22112222112212211111上式称为由基n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的基变换公式，若记()n n ij t T ⨯=，则基变换公式可表示为[][]T n n αααβββ 2121=矩阵T 称为基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆② 对V 中任一向量α，若α在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的坐标分别为n x x x ,,,21 和n y y y ,,,21 ，则由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n x x x x x x 21212211ααααααα []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++=n n n n y y y y y y 21212211ββββββα可得[][]Tn Tn y y y T x x x 2121=或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-n n x x x T y y y 21121 称为坐标变换公式4.1.10 施密特正交化方法任给V 中的一组基r ααα,,,21 ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基r βββ,,,2111111111111212211,,,,,,-------=-==r r r rr r r r βββαββββαβαββββαβαβαβ4.1.11 标准正交基(1) 定义：若V 的一组基r ηηη,,,21 满足()r j i ji j i ji ,,2,1,10, =⎩⎨⎧=≠=ηη则称r ηηη,,,21 是V 的一组标准（规范）正交基。

(2) 求法：第一种：对V 中的任一组基r ααα,,,21 可先由施密特正交化方法，得到一组正交基r βββ,,,21 ，再把每个k β单位化),,2,1(1r k kkt ==ββη得到的r ηηη,,,21 即为V 的标准正交基第二种：对任一nn R ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααααα,021 ，可以扩充为n R 的一组标准正交基，设[]Tn x x x x 21=满足0,=αx 即(*)02211=+++n n x a x a x a求得（*）的一个基础解系121,,,-n βββ ，从而121,,,,-n βββα 必为nR 的一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基4.1.12 正交矩阵(1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足）或1(-===A A I A A AA T T T (2) A 为正交矩阵的充要条件是A 的列（行）向量组为标准正交向量组注 由(2)可知，若n ααα,,,21 是nR 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，以它们为列作出矩阵[]n Q ηηη 21=则Q 必为正交阵。