第六章 线性空间 自测题
一 . 填空题 (20 分)
1. 若
1 ,
2 , , n 是线性空间 V 的一个基，则满足条件 (1)
1,
2 , , n 是
；
(2) 对 V 中任意向量
， .
2. 数域 P 上的线性空间 V 的非空子集 W 是 V 的子空间的充要条件为 .
3. 已知 W 1,W 2 为线性空间 V 的子空间 , W 1 W 2 为直和的充要条件为
.
4. 设 V 和 W 是数域 P 上两个线性空间， V 到 W 的一个同构映
射 f 满足如下三个条件：
（ 1 ） f 是 V 到 W 的
;
（ 2 ）对 , V ，有 ;
（ 3 ）对
V , k P ，有
.
5. 向量空间 V 的基
1 ,
2，L ， n 到基
n , n 1,L , 1 ,的过渡矩阵为 _______
.
6. 复数域
复数域
C
C 作为实数域
作为复数域 R
C 上的向量空间，则
上的向量空间，则
dim C
dim C
_____, 它的一个基为 __
__.
__ __, 它的一个基为 __
_ _.
二 . 选择题 (10 分)
1. 若 W 1 ,W 2 均为线性空间 V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）
（A ） W 1
(W 1 W 2) W 1 W 2 ； （B ）W 1 (W 1 W 2) W 1 W 2 ； （C ） W 1 (W 1 W 2) W 1 ；
（D ）W 1
(W 1
W 2) W 2
2. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成 P 上线性空间的是： （ ）
（A ） W 1 A P n n A A
（C ） W 3
A P n n A 0
；
（B ） W
A
P n n
tr ( A) 0 ；
2
；
（D ） W 4 A
P n n
AA .
3. 数域 P 上线性空间 V 的维数为 r , 1 ,
2 ,
, n
V ，且任意 V 中向量可由 1 , 2 , , n
线性表出，则下列结论成立的是： （ ）
（A ） r
n ；
（ B ） r n ；
（ C ） r n ；
（ D ） r n 4. 设 W 1 P 3[ x],W 2 P 4[ x] 则 dim( W 1 W 2 ) （
）
（ A ）2；
（B ） 3；
（C ） 4；
（ D ）5
5. 设线性空间
W (a,2a,3a) a R ，则 W 的基为：（
）
（ A ） (1,2,3) ； （ B ） (a, a, a) ； （ C ） (a,2a,3a) ；（ D ） (1,0,0) ( 0,2,0) (0,0,3)
3x 1 2x 2
5x 3 4x 4 0
三.(10 分)
在线性空间 P 4 中求由线性方程组： 3x 1 x 2
3x 3 3x 4 0 所确定的 P 4
3x 1 5x 2 13x 3 11x 4
的子空间 W 的基和维数 .
四.(15 分 ) 设 R 3
中的两个基分别为
11
0 1 , 2
0 1 0 ，
3
1 2 2
,
1
100,2 110,3
111.
（1）求由基 1, 2,
3到基 1, 2,
3 的过渡矩阵 .
（ 2）已知向量 在基 1, 2 ,
3 下的坐标为
1 3 0 ，求
在基
1 ,
2 ,
3 下的坐标 .
五.(15 分 ) 设
1
(1, 2,1 ,0),
2
( 1,1,1 ,1), 1
(2, 1, 0,1),
2
(1,1,3, 7)
,
W 1 L( 1
,
2 ),W 2 L( 1
,
2 )
，
求
dim( W 1 W 2 )
及
dim ( W 1 W 2) .
六 .(15 分 ) 设 A P n n :
1）证明：全体与 A 可交换的矩阵组成 P n n 的一子空间，记作 C ( A) ;
2）当 A=E 时，求 C( A) ;
1 0 0 L 0
3）当 A
0 2 0 L
0 时，求 C ( A) 的维数与一组基 . L
L L L L
0 L
n
七 .(15 分) 已知 P n n 的两个子空间 V 1 A P n n A A ， V 2 A P n n A
A ，
证明： P n n
V 1
V 2 ．
答案 :
一 .1.线性无关，可以由 1 , 2 ,,n 线性表示 2.对 V的加法和数乘封闭
3.W1W2{ o}或 dim( W1W2 )0
4.线性映射， f () f ( ) f ( ) ，
1
f (k)kf () 5.
N
1
1
6.dim C2, 它的一个基为 1, i;dim C2, 它的一个基为 1.
二． C C B C A
325432543254三 .解:由3 1 330 3 870 183 73
35131103870000
1 2 3 5 3 4 310 1 9 2 9
018 37 3018 37 3， W 的维数为2，
00000000
一组基为1 1 98 310'
2 97 30
' ,2 1 .
101
四. 解：(1) 由123=12301 2 =123 A ,
102
123=
123
123=
12
1 1 01
1
过渡矩阵AB=0 12
1 02
1
(2)=(1,2,3)3= 1
111
011=1 2 3B,
001
3 A 1B,
111201111221 01121201123 1 . 001101001110
1
23B1A3
1110101111112坐标为B1A 3= 011012311032 0001102010201
11211103
五.解:由1212
21110117 =
1030222 1
01170115
10141000
01170100 00412001,
00020001
dim W1 2,dim W2 2 ,dim( W1W2)=4,dim( W1I W2)=0
六. 证明1）设与A可交换的矩阵的集合记为C ( A).显然O C(A)，
B,D C(A), A(B D) AB AD BA DA (B D)A，故 B D C(A).
若 k 是一数， B C ( A) ，可得 A(kB) k( AB) k ( BA)(kB) A ，故 kB C ( A) .所以 C(A) 构成P n n 的子空间。

2）当 A E时，C(A)P n n.
3）设B(b) 为可与
A 交换的矩阵，由第四章习题
5
知，
B
只能是对角矩阵，
ij
故维数为 n ； E11, E22 ,L , E nn为一组基.
七. 证明:显然V1+V2P n n,又 A P n n , A A A' A A',
22
其中A
A'为对称矩阵 ,
A A
'为反对称矩阵 ,A A A' A A'V
1 V
2 2222
故 P n n V1 +V2,从而 P n n = V1+ V2.
又因为A V1 V2, A A', A A',有A O. 故V1V2{O} ,故V1+V2为直和.
故 P n n V1V2。