【详解】由椭圆 的一个焦点为 ，则 ，即 ，
以椭圆 的长轴为直径的圆的方程为 ，由直线 过圆心 ，则 ，
联立 ，消去 可得 ，解得 ，设直线 与椭圆 的交点分别为 ，则 ， ，
则 ，
由椭圆 恰好将线段 三等分，则 ，即 ，整理可得 ，代入 ，可得 ，解得 .
故答案为： .
15.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知 ，起始位置时大圆与小圆的交点为 （ 点为 轴正半轴上的点），滚动过程中 点形成的轨迹记为星形线 .有如下结论：
三､解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16.已知以点 为圆心的圆与直线 相切，过点 的动直线 与圆 相交于 两点.
（1）求圆 的方程；
（2）当 时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，又知圆心坐标为 ，从而求解圆的标准方程；（2）先讨论斜率不存在的直线是否合题意，斜率存在时，根据点斜式设出直线方程，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式及勾股定理求直线斜率，进而确定直线方程.
共15种，
其中至少有1名女生的有 ，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为 .
19.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点．
而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线 的周长小于曲线 的周长，故②错误；
对于③，星形线与直线 的交点为 ，即
它们到原点的距离为 与圆 的半径相等，
所以曲线 与圆相切，即有且仅有 个公共点，故③正确；
故答案为：①③
【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.
7.已知 ，双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 是双曲线右支上一点，则 的最小值为（）A.5B.7C.9D.11
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理 ，利用三角形三边关系，可得答案.
【详解】
延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，
直线 与平面 不存在公共点，
所以 平面
由中位线定理可得 , 在平面 内，
在平面 外，
所以 平面 ,
因为 与 在平面 内相交，
所以平面 平面 ,
所以 在 上时，直线 与平面 不存在公共点，
因为 与 垂直，所以 与 重合时 最小，
此时，三角形 的面积最小，
【详解】由双曲线 ，则 ，即 ，且 ，
由题意，作图如下：
，当且仅当 共线时，等号成立.
故选：C.
8.设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上，且满足 ，则 的值为
A. 8B. 10C. 12D. 15
【答案】D
【解析】
【详解】由已知 ，①
由椭圆定义知，
，②
由余弦定理得 ，③
由①②③得 .
故选：D.
【详解】对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；
对于②，垂直于同一直线的两个平面平行，故②正确；
对于③，若 ，则 ， 或 ，故③错误；
对于④，若 ，则 ， 或 ，故④错误；
所以错误 命题是③④，故选：C
3.过点 向圆 作切线，则切线长为（）
A. B.5C. D.24
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.
【小问1详解】
设圆 的半径为 ，∵圆 与直线 相切，
∴ ，∴圆 的方程为 .
【小问2详解】
设 的中点为 ，则 ，
∴ ，
当直线 与 轴垂直时，易知直线 的方程为 ，
此时 ，符合题意；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
又 ， ，
∴ ，又 ，∴ ，则 ，则直线 的方程为： ，即 ，
【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为 ，
则小圆的圆心轨迹为以 为圆心，半径为3的圆，即
设星形线 任意点 ，则 ， 为参数，其中
可知星形线 任意点 ，满足 ，
对于①，星形线 上左右两个端点 ， 或上下两个端点 ， 的距离最远，等于8，故①正确；
对于②，曲线 为过点 ， ， ， 的正方形，
故答案为： ； .
12.已知实数 和 满足 ，则 的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案.
【详解】由 ，即 ，则 可表示 与 连线的斜率，作图如下：
则 与 连线与圆相切时， 取得最值，
设 ，则 代入 ，整理可得 ，
由直线与圆相切，则 ，即 ，解得 ，故 .
【小问1详解】
由题知， ，
解得 ，
设这50名学生数学成绩的中位数为 ，
所以 ，解得 .
所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5
【小问2详解】
由频率分布直方图知，成绩在 内的学生有 名，因为成绩在 内的学生中男女比例为 ，
所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为 ，女生分别为 ，
所以从6名学生中任选2名情况有
【详解】由题意可知， 为双曲线等价于 ，解得 或 ，显然 能推出 或 ，反之不成立，∴应为充分不必要条件，
故选：A．
5.设 为坐标原点，动点 在椭圆C： 上，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ，则点 的轨迹方程是（）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案.
（1）求 的值及这50名学生数学成绩的中位数；
（2）该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在 内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在 内的学生中男女比例为 ，求至少有1名女生参加座谈的概率.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，设中位数为 计算即可；（2）列举法解决即可.
故答案为： .
13.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并结合基本不等式计算即可.
【详解】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，
9.如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面 内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为
A. B.1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，可得 平面 ,再证明平面 平面 ,可知 在 上时，符合题意，从而得到 与 重合时三角形 的面积最小，进而可得结果.
①曲线 上任意两点间距离的最大值为 ；
②曲线 的周长大于曲线 的周长；
③曲线 与圆 有且仅有 个公共点.
其中正确的序号为________________.
【答案】①③
【解析】【分析】由题意知星形线 任意点 满足 ， 为参数，其中 ，即 ， ，从而可判断①；分析曲线 的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与直线 的交点 ，知曲线 与圆相切，可判断③；
【详解】因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
作出图形，连接 ，易知 ，
因为 到 的距离为 ，
所以切线长为 .
故选：A.
4. “ ”是“曲线 为双曲线”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由双曲线的标准方程求出 的范围，再结合充分必要的定义判断即可.
京二中2022—2023学年度第二学段高二年级学段考试试卷
数学
命题人：燕轶审核人：刘怀颖得分：______
一､选择题（共10小题，每小题5分，共50分.选出符合题目要求的一项）
1.在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的几何意义可得复数 ，利用复数的乘法可求得结果.
二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知双曲线 经过点 ，则它的渐近线方程为______，离心率为______.
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】根据求双曲线标准方程及几何性质解决即可.【详解】由题知，双曲线 经过点 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 ，
所以双曲线焦点在 轴上， ，
所以它的渐近线方程为 ，离心率为 ，
【详解】设 ， ， ，则 ， ，
由 ，则 ，解得 ，
由点 在椭圆C： 上，则 ，即 ，
即点 的轨迹方程是 .
故选：C.
6.圆 上到直线 的距离为 的点共有
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.
【详解】圆 可变为 ，
综上可知直线 的方程为： 或 .
17.在 中， .
（1）求 的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得 存在，求 的面积.