高二数学（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）Ⅰ卷（满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.） 1.直线1y x =-+的倾斜角是（ ） A.45°B.135°C.120°D.90°2.已知()2,1,3a =-，()4,2,b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A.103B.6-C.6D.13.已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.425x y +=B.425x y -=C.25x y +=D.25x y -=4.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为正方形1111A B C D 的中心，1AE AA xAB yAD =++，则x ，y 的值是（ ） A.1x =，1y =B.1x =，12y =C.12x =，12y = D.12x =，1y = 5.“1a =”是“直线()110ax a y +--=与直线()110a x ay -++=垂直”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A.20x y --=B.20x y -+=C.0x y -=D.0x y +=7.已知()2,3A -，()3,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A.4k ≤-或34k ≥B.344k -≤≤C.14k ≤-或43k ≥ D.344k -≤≤ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱11A B ，11A D 的中点，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是（ ）A.3B.3C.15-D.159.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为（ ）A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45°D.二面角D OB A --为45°10.过直线0x y m --=上一点P 作圆()()22:231M x y -+-=的两条切线，切线分别为A ，B ，若使得四边形PAMB 的点P 有两个，则实数m 的取值范围为（ ） A.53m -<<B.35m -<<C.5m <-或3m >D.3m <-或5m >二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.直线10x y --=和直线10x y -+=之间的距离是______.12.若直线()31230a x y -++=与直线()2110a x ay -++=平行，则a =______. 13.与直线260x y ++=平行，且与圆22240x y x y ++-=相切的直线方程为______.14.在四面体ABCD 中，所有棱长都是1，P ，Q 分别为棱BC ，AB 的中点，则DP CQ ⋅=______. 15.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，且3DAB π∠=，PD AD =，PD ⊥平面ABCD ，F ，O 分别是PA ，BD 的中点，E 是线段PB 上的动点，给出下列四个结论：①AC OE ⊥；②FC PO =；③直线PO 与底面ABCD④AEC △面积的取值范围是2⎣.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本题共2个小题，共25分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 16.（本题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（Ⅰ）求证：1BD ∥平面ACE ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值. 17.（本小题满分13分）已知点()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -，求： （Ⅰ）直线BC 的方程；（Ⅱ）BC 边上的中线所在直线的方程； （Ⅲ）ABC △的面积.Ⅱ卷（满分50分）四、解答题（本题共4个小题，共50分，需要写出详细的演算过程和推理过程.） 18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，M 为线段11A C 上的一点.（Ⅰ）求证：1BM AB ⊥；（Ⅱ）若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离. 19.（本题满分12分）已知圆()()22:6725M x y -+-=及其上一点()2,4A .（Ⅰ）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （Ⅱ）平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程. 20.（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，PAD △为等边三角形，AD BC ∥，22AD CD BC ===，E ，F 分别为棱PD ，PB 的中点.（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角．．．．的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在点G ，使得DG ∥平面AEF ？若存在，求直线DG 与平面AEF 的距离；若不存在，说明理由. 21.（本题满分13分）已知圆C 与圆22168255x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线240x y +-=对称.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若A ，B 为圆C 上两个不同的点，O 为坐标原点.设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，当123k k ⋅=时，求k 的取值范围.高二数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题三、解答题16.（Ⅰ）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，OB OD =. 因为E 为1DD 的中点，所以1OE BD ∥.因为1BD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以1BD ∥平面ACE . （Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,2,1E ，所以()0,2,0AD =，()2,2,0AC =，()0,2,1AE =.设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，所以0,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以220,20,x y y z +=⎧⎨+=⎩即,2,x y z y =-⎧⎨=-⎩令1y =-，则1x =，2z =，于是()1,1,2n =-.设直线AD 与平面ACE 所成角为θ，则2sin cos ,626AD n AD n ADnθ⋅====⋅. 所以直线AD 与平面ACE17.解：（Ⅰ）直线BC 的斜率是()101314-=--，所以直线BC 的方程是()1014y x -=+，即直线BC 的方程是410x y -+=.（Ⅱ）因为()1,3A ，()3,1B ，()1,0C -，所以线段BC 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭， 所以BC 边上的中线所在的直线的斜率不存在，BC 边上的中线所在的直线方程为1x =. （Ⅲ）由（Ⅰ）知直线BC 的方程为410x y -+=，则点A 到直线BC 的距离d ==， 又BC ==152ABC S ==△.18.解：（Ⅰ）因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥. 因为AB AC ⊥，所以AC ⊥平面11AA B B .所以1AC AB ⊥. 因为在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC ∥，所以111AC AB ⊥.又因为1AA AB =，所以四边形11AA B B 为正方形.连结1A B ，则11AB A B ⊥.又因为1111A B AC A =，所以1AB ⊥平面11BA C .因为BM ⊂平面11BA C ，所以1AB BM ⊥.（Ⅱ）因为AB ，AC ，1AA 两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系A xyz -. 可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()10,1,1C . 则()1,1,0BC =-，()11,0,1AB =，()11,0,1A B =-. 设()11101A M AC λλ=≤≤，则()()()111111,0,10,1,01,,1BM BA A M BA AC λλλ=+=+=-+=-. 设(),,n x y z =为平面BCM 的法向量，则0,0,n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y x y z λ-+=⎧⎨-++=⎩令1x =，则1y =，1z λ=-，可得()1,1,1n λ=-.则111,sincos ,422AB n AB n AB nπ====. 解得12λ=，则11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以点1A 到平面BCM 的距离113A B n d n⋅==，19.解：（Ⅰ）因为圆N 的圆心在6x =上，所以设圆()()()222:60N x y b r r -+-=>. 由已知，b r =5r =+，解得1b r ==，所以圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （Ⅱ）由已知，OA ==OA 的斜率40220k -==-.因为直线l OA ∥，所以设直线:2l y x t =+，即20x y t -+=. 圆M 的圆心到直线l的距离d ==所以BC ===15t =-，或5t =，所以直线l 的方程为215y x =-或25y x =+.20.解：（Ⅰ）因为CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥. 因为在等边PAD △中，E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥. 因为PDCD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD .（Ⅱ）取AD 的中点O ，连接OP ，OB .因为在四边形ABCD 中，AD BC ∥，2AD BC =，所以OD BC ∥，OD BC =， 所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB CD ∥.因为CD ⊥平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD .因为OA ，OP ⊂平面PAD ，所以OB OA ⊥，OB OP ⊥.因为在等边PAD △中，O 是AD 的中点，所以OP OA ⊥. 以O 为原点，OA ，OB ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.()1,0,0A ，1,0,22E ⎛-⎝⎭，0,1,2F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,22EA ⎛=- ⎝⎭，1,1,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，所以0,0,n EA n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,210.2x z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令2x =，(2,n =-.又平面PAD 的法向量()0,1,0m =， 设平面AEF 与平面PAD 所成的锐二面角为θ，所以17cos cos ,17m n m n m nθ⋅===， 即平面AEF 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为17. （Ⅲ）设点G 满足PG PC λ=，[]0,1λ∈.因为(P ，()1,2,0C -，()1,0,0D -，所以(),2G λλ-，()1,2DG λλ=-+.因为DG ∥平面AEF ，所以())2120DG n λλ⋅=-+-+=，解得45λ=. 即棱PC 上存在点G 使得DG ∥平面AEF ，且45PG PC =. 因为DG ∥平面AEF ，所以直线DG 到平面AEF 的距离等于点D 到平面AEF 的距离，因为()2,0,0AD =-，所以直线DG 到平面AEF 的距离41717AD n d n⋅===.21.解：（Ⅰ）设圆C 的标准方程为()()222x a y b -+-=，由题意得()16855240228521165a b ba ⎧++⎪⨯+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪⎪-⎩，即202a b b a +=⎧⎨=⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，所以圆C 的圆心为()0,0，所以圆C 的方程为222x y +=.（Ⅱ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 由12121212123y y kx m kx m k k x x x x ++⋅=⋅=⋅=，得()()12123kx m kx m x x ++=， 即()()22121230k x x mk x x m -+++=①，由222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y ，整理得()()2221220k x mkx m +++-=*，由韦达定理12221mk x x k+=-+，212221m x x k -⋅=+，将其代入①整理得2230m k =-≥，解得k ≤≤AB 与圆C<2222m k <+，即231k >，解得k >k < 又要使1k ，2k ，k 有意义，则10x ≠，20x ≠，且12x x ≠，所以0不是方程（*）的根，所以220m -≠，即1k ≠且1k ≠-④，由②③④得，k的取值范围为)(3311,,11,333⎛⎫⎛⎫⎡⎤--- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。