2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷1. 已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=( )D. 2A. −2B. −1C. −122. 圆C：(x−2)2+(y−2)2=4的圆心坐标和半径分别为( )A. (−2,−2)，2B. (2,2)，2C. (−2,−2)，4D. (2,2)，43. 有一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.1，则数据x1+2，x2+2，⋯，x n+2的方差为( )A. 0.1B. 0.2C. 1.1D. 2.14. 已知m，n是实数，若a⃗=(2,2m−3,2)，b⃗ =(4,2,3n−2)，且a⃗//b⃗ ，则m+n=( )A. −4B. 0C. 2D. 45. 记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示：工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸产品数46485153535656565871量/个那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( )A. 49.5B. 51C. 52D. 536. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[6,26]，样本数据分组为[6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26],已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是( )A. 90B. 75C. 60D. 457. 已知生产某种产品需要两道工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为( )A. A −B. ABC. AB −D. A −∪AB −8. 已知圆M ：x 2+y 2=1和N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)存在公共点，则m 的值不可能为( )A. 3B. 3√2C. 5D. 4√29. 已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右支与圆x 2+y 2=a 2+b 2交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若△OAB 为正三角形，则该双曲线的离心率为( )A. 23B. √63C. √2D. 210. 在平面直角坐标系xOy 中，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13对应的曲线记为C ，给出下列结论：①(0,0)是曲线C 上的点； ②曲线C 是中心对称图形；③记A(−3,0)，B(3,0)，P 为曲线C 上任意一点，则△PAB 面积的最大值为6. 其中正确结论的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 双曲线x 2−y 2=4的渐近线方程为______.12. 甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.5，则密码被破译的概率为______.13. 写出过点A(2,3)且与圆(x −1)2+y 2=1相切的一条直线的方程______.14. 在空间直角坐标系O −xyz 中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)，点P(3,−4,5)到平面α的距离为______.15. 棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中x ，y ，z ∈[0,1]，给出下列四个结论：①当x =0，z =1时，△BPD 1可能是等腰三角形； ②当x =0，y =1时，三棱锥P −BDD 1的体积恒为43； ③当z =1，且x +y =1时，△BPD 1的面积的最小值为√2； ④当z =1，且x +y =12时，∠BPD 1可能为直角． 其中所有正确结论的序号是______.16. 已知△OAB 的三个顶点分别是0(0,0)，A(2,0)，B(4,2).(Ⅰ)求△OAB 的外接圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长．17. 如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，M是棱CC1上任意一点．(Ⅰ)求证：AM⊥BD；(Ⅰ)若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．18. 某公司为了了解A，B两个地区用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取400名用户，从B地区随机抽取100名用户，通过问卷的形式对公司产品评分．该公司将收集的数据按照[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分组，绘制成评分分布表如下：分组A地区B地区[20,40)4030[40,60)12020[60,80)16040[80,100]8010合计400100(Ⅰ)采取按组分层随机抽样的方法，从A地区抽取的400名用户中抽取10名用户参加座谈活动．求参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有多少名？(Ⅰ)从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的用户中随机选取2名用户，求这2名用户的评分恰有1名低于80分的概率；(Ⅰ)若A地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，两个地区的所有用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小，并说明理由．19. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,2).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其焦点坐标；(Ⅰ)过点A的直线l与抛物线C的另一个交点为B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求点B的坐标．20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//CD，∠ADC=90∘，且AD=CD= PD=2AB.(Ⅰ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅰ)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(Ⅰ)在棱PB上是否存在点G(G与P，B不重合)，使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由．21. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，B(0,1)两点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅰ)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．(i)若点P坐标为(2,1)，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：|AM|=|AN|；(ii)若点P坐标为(2,√33)，直线g的方程为√3x−6y−2√3=0，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且|AM|=|AN|.请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由已知可得直线AB 的斜率为k =2−00−1=−2， 则k =−2， 故选：A.求出直线的斜率，由此即可求解．本题考查了直线的斜率以及方向向量的应用，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=4的圆心坐标为(2,2)， 半径为：2. 故选：B.利用圆的定义和性质直接求解．本题考查圆的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −， 则数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数为x −+2，数据x 1，x 2，…，x n 的方差为S 2=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1，又数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的方差为1n [(x 1+2−x −−2)2+(x 2+2−x −−2)2+...+(x n +2−x −−2)2]=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+...+(x n −x −)2]=0.1. 故选：A.设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，即可求出该数据的方差关系式，然后再求出数据x 1+2，x 2+2，⋯，x n +2的平均数以及方差关系式，化简即可求解．本题考查了数据的方差的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，若a ⃗ =(2,2m −3,2)，b ⃗ =(4,2,3n −2)，且a ⃗ //b ⃗ ， 设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k 2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m =2、n =2，则m +n =4；故选：D.根据题意，设b ⃗ =k a ⃗ ，则有{4=2k2=k(2m −3)3n −2=2k ，解可得m 、n 的值，计算可得答案．本题考查空间向量的平行，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：将10个数据按照从小到大的顺序排列为： 46，48，51，53，53，56，56，56，58，71， ∵10×30%=3，∴所给数据的第30百分位数为第3个数据与第4个数据的平均数，等于51+532=52.故选：C.将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．本题考查了百分位数的求解，解题的关键是掌握百分位数的定义，考查了运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由频率分布直方图可知样本中产品净重小于14克的频率为(0.025+0.05)×4=0.30， 设样本总体个数为n ，则36n =0.3，解得n =120，又样本中净重大于或等于10克并且小于22克的频率为(0.05+0.075+0.0625)×4=0.75， 所以样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品个数为120×0.75=90， 故选：A.根据频率分布直方图求出样本中产品净重小于14克的频率，然后设样本总体个数为n ，则即可建立方程求出n 的值，进而可以求解．本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生的识图能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由题意可知要使产品不合格，需第一道工序不合格或者第一道工序合格且第二道工序不合格， 则“产品不合格”可以表示为A −∪AB −， 故选：D.根据和事件以及积事件的性质即可求解． 本题考查了事件的关系与运算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：圆M ：x 2+y 2=1的圆心M(0,0)，半径r 1=1，圆N:(x −2√2)2+(y −2√2)2=m 2(m >0)的圆心N(2√2,2√2)，半径r 2=m ， 若圆M 与圆N 存在公共点，则|m −1|≤|MN|≤m +1， 即{ |m −1|≤√(2√2)2+(2√2)2m +1≥√(2√2)2+(2√2)2，解得3≤m ≤5.结合选项可得，m 的值不可能为4√2. 故选：D.由两圆的方程可得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求得m 的范围，结合选项得答案．本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a2−y 2b2=1，解得x =a √b 2+c 2c，∵△OAB 为正三角形， ∴a √b 2+c 2c=c ⋅cos π6，a 2+b 2=c 2，化为3e 4−8e 2+4=0，e >1， 解得e 2=2，即e =√2， 故选：C.如图所示，设a 2+b 2=c 2，c >0，联立{x 2+y 2=c 2x 2a 2−y 2b2=1，解得x ，根据△OAB 为正三角形，利用边角关系可得关于a ，b ，c 的方程，进而得出离心率．本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的方程、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：对于①，把(0,0)代入√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不成立，得(0,0)不是曲线C 上的点，故①错误；对于②，以−x 替换x ，以−y 替换y ，方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13不变，可知曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，在方程√(x +3)2+y 2⋅√(x −3)2+y 2=13中，取x =0，可得9+y 2=13，即y =±2，∴△PAB面积的最大值为S=12×6×2=6，故③正确．∴正确结论的个数为2.故选：C.把原点的坐标代入切线方程判断①；由中心对称的概念判断②；取x=0求得y的最值，再由三角形面积公式求面积判断③．本题考查切线方程，考查推理论证能力与运算求解能力，是基础题．11.【答案】y=±x【解析】解：把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，∴双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x2 4−y24=0，整理，得y=±x.故答案为：y=±x.把双曲线x2−y2=4转化为标准方程：x 24−y24=1，得到双曲线x2−y2=4的渐近线方程为x24−y24=0，由此能求出结果．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意把双曲线方程转化为标准方程．12.【答案】0.75【解析】解：密码被破译的概率为1−(1−0.5)(1−0.5)=0.75.故答案为：0.75.求得密码没有被破译的概率，用1减去没有被破译的概率，即为密码被破译的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．13.【答案】x=2或4x−3y+1=0【解析】解：根据题意，A(2,3)在圆(x−1)2+y2=1外，∴过点A(2,3)与圆(x−1)2+(y−2)2=1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y−3=k(x−2)，即kx−y+3−2k=0，∴√k+1=1，∴k=43，∴切线方程为4x−3y+1=0，当斜率不存在时，切线方程为x=2.综上，所求的切线方程为x =2或4x −3y +1=0. 故答案为；x =2或4x −3y +1=0.根据题意，A(2,3)在圆(x −1)2+y 2=1外，过点A(2,3)与圆(x −1)2+y 2=1相切的直线有两条，考虑斜率存在和斜率不存在，分情况讨论即可．本题考查直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：根据题意，点P(3,−4,5)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,5)， 平面α的一个法向量是n ⃗ =(0,0,−1)， 则点P(3,−4,5)到平面α的距离d =|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=|−5|1=5，故答案为：5.根据题意，求出向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由点到平面的距离公式计算可得答案． 本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离计算，属于基础题．15.【答案】①②③【解析】解：对于①：当x =0，z =1时，点P 是线段B 1C 1上的动点，显然当P 是线段B 1C 1的中点时，BP =D 1P ，故①正确；对于②：当x =0，y =1时，点P 是线段CC 1上的动点，∵BB 1//CC 1，又BB 1⊂平面BDD 1，∴CC 1//平面BDD 1，∴P 到平面BDD 1的距离为定值12AC =√2，∴三棱锥P −BDD 1的体积V =13×12×2×2√2×√2=43，故②正确；对于③：当z =1，且x +y =1时，点P 在线段A 1C 1上的动点， 显然P 为A 1C 1与B 1D 1的交点时，△BPD 1的面积的最小，最小值为S △BB 1P −S △BB 1P =12×2×2√2−12×2×√2=√2，故③正确；对于④：当z =1，且x +y =12时，M ，N 为A 1B 1，B 1C 1的中点，点P 为直线MN 上的动点， 以B 为原点，BA ，BC ，BB 1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(x,y,1)，B(0,0,0)，D 1(1,1,1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)，D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1,0)，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅D 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,1)⋅(x −1,y −1,0)=x 2−x +y 2−y =x 2−x +y 2−y =(x +y)2−2xy −(x +y)=14−12−2xy =−14−2xy <0， 故∠BPD 1不可能为直角，故④错误． 故答案为：①②③．利用空间几何的性质，逐项判断即可．本题考查空间几何体的体积问题，考查三角形形状的判断，考查空间角问题，属中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得{F =022+2D +F =042+22+4D +2E +F =0，解得D =−2，E =−6，F =0，∴△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2−2x −6y =0. (Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10， 圆心C(1,3)，半径r =√10，圆心C 到直线l 的距离d =|4+9−8|√42+32=1，∴直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2×√10−1=6.【解析】(Ⅰ)设△OAB 的外接圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，D 2+E 2−4F >0，把0(0,0)，A(2,0)，B(4,2)代入可得关于D ，E ，F 方程组，解得D ，E ，F ，即可得出△OAB 的外接圆C 的一般方程．(Ⅰ)由(I)可得：(x −1)2+(y −3)2=10，可得圆心C(1,3)，半径r =√10，利用点到直线的距离公式可得圆心C 到直线l 的距离d ，即可得出直线l ：4x +3y −8=0被圆C 截得的弦的长=2√r 2−d 2.本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，M 是棱CC 1上任意一点，∴AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥AA 1，∵AC ∩AA 1=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵AM ⊂平面ACC 1A 1，∴AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，∵M 是棱CC 1的中点，∴A(0,0,0)，M(1,1,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设异面直线AM 与BC 所成角为θ，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为：cosθ=|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33.【解析】(Ⅰ)AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，从而BD ⊥AA 1，进而BD ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明AM ⊥BD ；(Ⅰ)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设从A 地区抽取的用户中抽取的10名用户参加座谈的用户中，对公司产品的评分不低于60分的用户有m 名，则m 10=240400，解得m =6；(Ⅰ)将从(Ⅰ)中参加座谈的且评分不低于60分的6名用户中，评分为[60,80)的4名编号为1，2，3，4，评分为[80,100)的两名用户编号为a ，b ，则从6人中随机选取2名用户的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b)}， 设M =“这两名用户的评分恰有一名低于80分“，则M ={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)}，则P(M)=n(M)n(Ω)=815；(Ⅰ)无法判断μ0和μ1+μ22的大小， 理由：因为样本的抽样具有随机性，样本不一定能完全代表总体，所以无法比较．【解析】(Ⅰ)按照分层抽样的规律，即抽样比相等，列出方程求解；(Ⅰ)利用列举法表示出所有的样本点，再求出要求事件包含的样本点的个数，套用公式求出结论； (Ⅰ)根据抽样具有随机性的特点，可得总体的μ0和μ1+μ22的大小关系无法确定．本题考查分层抽样的性质，古典概型的概率计算公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，则4=2p ，解得p =2.∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点坐标为(1,0).(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，联立{m(y −2)=x −1y 2=4x，化为y 2−4my +8m −4=0， 则2+y 0=4m ，可得2m =2+y02，则△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，∴|1−2+y 02|⋅|2−y 0|=4，化为：y 02−2y 0±8=0，y 02−2y 0+8=0，Δ=4−32=−28<0，无解，舍去．y 02−2y 0−8=0，解得y 0=−2，4，由y 0=−2，可得4=4x 0，解得x 0=1，∴B(1,−2)；由y 0=4，可得16=4x 0，解得x 0=4，∴B(4,4).综上可得：点B 的坐标为(1,−2)，(4,4).【解析】(Ⅰ)把点A(1,2)代入抛物线C ：y 2=2px(p >0)方程，解得p ，进而得出抛物线C 的方程及其焦点坐标．(Ⅰ)设过点A 的直线l 方程为m(y −2)=x −1，B(x 0,y 0)，直线l 与x 轴相交于M(1−2m,0)，把直线l 的方程代入抛物线方程化为y 2−4my +8m −4=0，利用根与系数的关系可得m 与y 0的关系，代入△OAB 的面积2=12|1−2m|⋅|2−y 0|，解得y 0，可得点B 的坐标．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，∠ADC =90∘，∴AB ⊥AD ，∵PD ⊥平面ABCD.AB ⊂面ABCD ，∴PD ⊥AB ，∵PD ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，AD ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =CD =PD =2AB =2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，由AB ⊥平面PAD ，可得平面PAD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设平面PBC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y −2c =0−2x +y =0，则可取n ⃗ =(1,2,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=21×√1+4+4=23，∴平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为23；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0<λ<1)，∴(2−x,1−y,−z)=λ(2,1,−2)，可得x =2−2λ，y =1−λ，z =2λ，∴G(2−2λ,1−λ.2λ)，∴DG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,1−λ.2λ)， ∴cos <DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1+4+4⋅√(2−2λ)+(1−λ)+4λ=23， 解得λ=19，∴PGPB =1−λ=89. 【解析】(Ⅰ)证明PD ⊥AB ，说明AD ⊥CD ，AD ⊥AB.即可证明AB ⊥平面PAD ；(Ⅰ)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D −xyz.求出平面PBC 的法向量，平面PAD 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可；(Ⅰ)设G(x,y,z)，设GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据DG 与平面PBC 所成角的正弦值为23，即可求出λ的值，可得答案．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；证明：(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，不妨令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0， 整理得(1+4k 2)x 2+(8k −16k 2)x +16k 2−16k =0，所以Δ=(8k −16k 2)2−4(1+4k 2)(16k 2−16k)>0，解得k >0， 所以x 1+x 2=16k 2−8k1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k1+4k 2；①当x 1x 2≠0时，直线BC 的方程为y −1=y 1−1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11−y 1， 直线BD 的方程为y −1=y 2−1x 2x ，令y =0，解得x N =x21−y 2， 所以x N +x M =x 21−y 2+x 11−y 1=x 21−[k(x 2−2)+1]+x 11−[k(x 1−2)+1]=x 2−k(x 2−2)+x 1−k(x 1−2)=−2x 1x 2−2(x 1+x 2)k(x 1x 2−2(x 1+x 2)+4) =−2×16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)k(16k 2−16k 1+4k 2−2×(16k 2−8k 1+4k 2)+4)=4，所以|AM|=|AN|；②当x 1x 2=0时，得C(0,−1),D(85,35)，此时直线BC 的方程为x =0，直线BD 的方程为y =−x 4+1，所以M(0,0)，N(4,0)，符合题意；综上，|AM|=|AN|；(ii)由题意可得Q(1,√32).【解析】(Ⅰ)由题意得a =2，b =1，即可求解椭圆E 的方程；(Ⅰ)(i)设过点P(2,1)的直线l 的方程为y −1=k(x −2)，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，令−2≤x 1<x 2<2，由{y −1=k(x −2)x 2+4y 2−4=0，利用韦达定理得到x 1+x 2=16k 2−8k 1+4k 2,x 1x 2=16k 2−16k 1+4k 2，再分x 1x 2≠0和x 1x 2=0两种情况即可得证；(ii)根据题意直接写出Q 点坐标即可．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。