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2018届静安区高三二模数学Word版(附解析)

上海市静安区2018届高三二模数学试卷2018.05一. 填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分) 1. 已知集合{1,3,5,7,9}A =,{0,1,2,3,4,5}B =,则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是2. 若复数z 满足(1)2z i i -=(i 是虚数单位),则||z =3. 函数lg 2y x =+()的定义域为 4. 在从4个字母a 、b 、c 、d 中任意选出2个不同字母的试验中,其中含有字母d 事件 的概率是5. 下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图,则h =6. 如上右图,以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若1DB uuu r 的坐标为(4,3,2),则1BD uuu r的坐标为7. 方程3cos2x =-的解集为 8. 已知抛物线顶点在坐标原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(,4)M a -(0)a >到焦点F 的距离为5,则该抛物线的 标准方程为9. 秦九韶是我国南宋时期数学家,他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算 法,右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2,则输出q 的值为(在算法语言中用“*”表示乘法运算符号,例如5210*=) 10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S (n ∈*N ),且63198S S =-,42158a a =--,则3a 的值为11. 在直角三角形ABC 中,2A π∠=,3AB =,4AC =,E 为三角形ABC 内一点, 且22AE =,若AE AB AC λμ=+uu u r uu u r uuu r ,则34λμ+的最大值等于12. 已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤,222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-,若A B ≠∅I ,则实数a 取值范围为二. 选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13. 能反映一组数据的离散程度的是( )A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差14. 若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根α,β,且||3αβ-=,那么实数m 的值是( ) A.52 B. 1 C. 1- D. 52- 15. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分 图像如图所示,则()3f π的值为( )A.22 B. 32 C. 62D. 0 16. 已知函数3()10f x x x =++,实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<,230x x +<,310x x +<,则123()()()f x f x f x ++的值( )A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17. 某峡谷中一种昆虫的密度是时间t 的连续函数(即函数图像不间断). 昆虫密度C 是指每平方米的昆虫数量,已知函数21000(cos(4)2)990,816()2,081624t t C t m t t ππ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪≤<<≤⎩或, 这里的t 是从午夜开始的小时数,m 是实常数,(8)m C =.(1)求m 的值;(2)求出昆虫密度的最小值并指出出现最小值的时刻.18. 已知椭圆Γ的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍,两焦点分别为1F 和2F ,椭圆Γ上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆22:24210()k A x y kx y k ++--=∈R 的圆心为k A .(1)求△12k A F F 的面积;(2)若椭圆上所有点都在一个圆内,则称圆包围这个椭圆. 问:是否存在实数k 使得圆k A 包围椭圆Γ?请说明理由.19. 如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,AC 与BD 交于点O ,OP ⊥底面ABCD ,点M 为PC 中点,2AC =,1BD =,2OP =. (1)求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值;(2)求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值.20. 已知数列{}n a 中,1a a =1(,)2a R a ∈≠-,1112(1)n n a a n n n -=+++,2n ≥,*n ∈N . 又数列{}n b 满足:11n n b a n =++,*n ∈N . (1)求证:数列{}n b 是等比数列;(2)若数列{}n a 是单调递增数列,求实数a 的取值范围;(3)若数列{}n b 的各项皆为正数,12log n n c b =,设n T 是数列{}n c 的前n 和,问:是否存在整数a ,使得数列{}n T 是单调递减数列?若存在,求出整数a ;若不存在,请说明理由.21. 设函数()|27|1f x x ax =-++(a 为实数). (1)若1a =-,解不等式()0f x ≥;(2)若当01xx>-时,关于x 的不等式()1f x ≥成立,求a 的取值范围; (3)设21()1x g x a x +=--,若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,求a 的取值范围.参考答案一. 填空题1. {0,2,4}2.3. [1,)-+∞4.125. 46. (4,3,2)--7. 5{|,}12x x k k ππ=±∈Z 8. 24x y =-9. 50 10. 9411. 1 12. 19[14+-二. 选择题13. D 14. A 15. C 16. B三. 解答题17. 解(1)2(8)=1000(cos0+2)9908010m C =-=; ……4分 (2)当cos((8))12t π⋅-=-时,C 达到最小值,得(8)(2+1),2t k k Z ππ⋅-=∈,……8分又[8,16]t ∈,解得10t =或14.所以在10:00或者14:00时,昆虫密度达到最小值10. ……14分18. 解:(1)设椭圆方程为:22221(0)x y a b a b+=>>,……1分由已知有212,2a a b ==, ……2分 所以椭圆方程为:221369x y +=, …… 3分圆心(,2)k A k - ……5分所以,△12k A F F 的面积121211222k K A F F A S F F y =⋅=⨯= ……6分 (2)当0k ≥时,将椭圆椭圆顶点(6,0)代入圆方程得:22601202115120k k ++--=+>,可知椭圆顶点(6,0)在圆外;……10分当0k <时,22(6)01202115120k k -+---=->,可知椭圆顶点(-6,0)在圆外; 所以,不论k 取何值,圆k A 都不可能包围椭圆Γ.……14分19. 解:(1)因为ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥.又OP ⊥底面ABCD ,以O 为原点, 直线,,OA OB OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系. ……1分则(1,0,0)A ,1(0,,0)2B ,(0,0,2)P ,(1,0,0)C -,1(,0,1)2M -. 所以(1,0,2)AP =-u u u r ,11(,,1)22BM =--u u u u r ,52AP BM ⋅=u u u r u u u u r ,||5AP =u u u r,6||2BM =u u u u r . ……3分 则30cos ,6||||56AP BM AP BM AP BM ⋅<>===⨯u u u r u u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u u r . 故异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为306……6分 (2)1(1,,0)2AB =-u u u r ,11(,,1)22BM =--u u u u r .设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r,则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ,得10211022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩,令2x =,得4y =,3z =.得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =r. ……9分又平面PAC 的一个法向量为1(0,,0)2OB =u u u r , ……10分所以n r 2OB ⋅=u u u r ,||29n =r ,1||2OB =u u u r .则4cos ,2929||||29n OB n OB n OB ⋅<>===r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为42929. ……14分20. 解:(1)1111111111221(1)111n n n a a a n n n n n n n n n --+=+++=++-++++++ 112122()n n a a n n--=+=+ ……2分 即12n n b b -= ……3分又111122b a a =+=+,由12a ≠-,则10b ≠所以{}n b 是以112b a =+为首项,2为公比的等比数列. ……4分(2)11()22n n b a -=+⋅,所以111221n n a a n -⎛⎫=+⋅- ⎪+⎝⎭……6分若{}n a 是单调递增数列,则对于*n N ∈,10n n a a +->恒成立 ……7分111111222221n n n n a a a a n n -+⎛⎫⎛⎫-=+⋅--+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111=2212n a n n -⎛⎫+⋅+- ⎪++⎝⎭111=22(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+ ⎪++⎝⎭……8分由111202(1)(2)n a n n -⎛⎫+⋅+> ⎪++⎝⎭,得11122(1)(2)n a n n -+>-++对于*n N ∈恒成立, ∵112(1)(2)n n n --++递增,且1102(1)(2)n n n --<++,11lim[]02(1)(2)n n n n -→∞-=++,所以102a +≥,又12a ≠-,则12a >-. ……10分 (3)因为数列{}nb 的各项皆为正数,所以102a +>,则12a >-.112211log [()2]1log ()22n n c a n a -=+=-+-+, ……13分若数列{}n T 是单调递减数列,则21T T >,即2221112log ()1log (),log ()1222a a a -+->-++<-,即1122a +<,所以102a -<<.不存在整数a ,使得数列{}n T 是单调递减数列. ……16分21. 解:(1)由()0f x ≥得271x x -≥-, ……1分 解不等式得8|63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 ……4分 (利用图像求解也可)(2)由01xx>-解得01x <<.由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥, 当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥; ……5分当=2a 时,符合题设条件; ……6分 下面讨论2a ≠的情形,当2a >时,符合题设要求; ……7分 当2a <时,72x a ≤-,由题意得712a≥-,解得25a >≥-; 综上讨论,得实数a 的取值范围为{}|5a a ≥- ……10分 (3)由21()=21(1)1x g x x a x a x +=-++--, ……12分代入()()f x g x ≤得|27|2|1|1x x a ---+≤,令()|27|2|1|1h x x x =---+,则6,17()410,1274,2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪->⎪⎩, 74()()(1)62h h x h -=≤≤=,∴min ()4h x =- ……15分若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,则min (),4h x a a ≤≥-即. ……18分。

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