问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时
曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+
那么100+99+98+
+100=x,
+1=x.
(1)
(2) +101=2x,
由(1)+(2)得101+101+101+
所以
100个101 2 x 101 100, x=5050.
高斯
正所谓：知三求二
例1
如图，一个堆放铅笔的 V形 架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记 为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
Sn
n ( a1 a n ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
n ( n 1) S n na1 d 2
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
公式共涉及到5 个量： a1 , d , n , a n , S n .已知其中3个可求另 2 个
它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2) 得 即
Sn=n(a1+an)/2
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七 世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱 妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建 而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世 界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图 案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相 同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层 （见左图），奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
小 结
等差数列的前n项和公式：
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
n(n 1) n(n 1) 公式2 Sn na1 d nan d 2 2
熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵 活运用解决相关问题．
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等差数列1，4，7，10…的前100项的和？
在等差数列{an}中，a4= 63;a5+a12+a15=36. 求前16项的和?
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例4 等差数列-10，-6，-2，2，…
前多少项的和是54？
求等差数列－13，－9，－5，-1，3· · · 前多少项和是50？
这个问题，可看成是求等差数列 1，2, 3，…，n，…的前100项的和。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
借助几何图形之 直观性，使用熟悉的 几何方法：把“全等 三角形”倒置，与原 图补成平行四边形。
探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有 多少颗宝石？
2 1 21 20 19
120 (1 120) S120 7 260 2
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
例2：在等差数列{an}中，
（1）a1= -8，a10=12，求S10
（2）a1=10，d=-2，求S20
在等差数列{an}中， （1）a3= -2，a8=13，求S10
（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
21 1
问题3:
求:1+2+3+4+…+n=? 记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2 S n( n 1), n( n 1) S 2
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 设等差数列a1,a2,a3,…