B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关4. 下列命题中正确的是( C ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关5. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则( D ) （A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤(D) r s <6. n 维向量组 s ααα，，，Λ21(3 s n ）线性无关的充要条件是（ B ）. (A ）s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，，Λ21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件是（D ） A 、任意i α不为零向量B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（A ） A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示9. 设A 为n 阶方阵，且秩12() 1.,A n αα=-是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( C )A 、1αkB 、2αkC 、)(21αα-kD 、)(21αα+k10. 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2，则=t （ A ）. A 、3 B 、-3 C 、2 D 、-2 11. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ A ） A 、必有r 个行向量线性无关B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组C 、任意r 个行向量线性相关D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示12. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（C ） A 、321ααα++，321232ααα+-，321323ααα+- B 、21αα+，32αα+，13αα- C 、212αα+，3232αα+，133αα+ D 、12-αα+，32αα+，3212ααα++- 14. 已知向量组A 线性相关，则在这个向量组中( C )(A)必有一个零向量 . (B)必有两个向量成比例 .（C)必有一个向量是其余向量的线性组合 . (D)任一个向量是其余向量的线性组合 .15. 设A 为n 阶方阵，且秩()1R A n =-,12,a a 是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )（A ）12()k a a + （B) 12()k a a - （C) 1ka (D) 2ka 16. 已知向量组1,,m ααK 线性相关， 则（C ） （A ）该向量组的任何部分组必线性相关 . （B) 该向量组的任何部分组必线性无关 .（C) 该向量组的秩小于m . (D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的.17．已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( C ) （A ）123,,ααα 线性无关 （B) 234,,ααα 线性相关 （C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示18. 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第三题 计算题：1. 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

解:：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000001000002110012014422002110163311201086242431225531112013),,,,(54321=αααααr其极大线性无关组可以取为521,,ααα且：521302αααα+-=，521402αααα++=2. 求向量组A ： T )-2,6,2,0(1=α ，T )1,-2,-1,0(2=α，T )-2,-4,0,2(3=α，T )22,10,0(4-=，α，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意，（学生填写）： 姓名： 学号： --------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------（答题不能超出密封线） 由123ααα,,唯一线性表示并写出表示式 解 ()()231102124433373313301c c A a a a a +---=+=+=+-２２３＝１１ （1） 当3a =-时，123,ααα,线性相关. 当3a ≠-时，123,ααα,线性无关. 7. 求向量组A : T )2,1,1(1-=α，T )1,3,0(2=α，3(1,5,4)T α=，T )2,2,1(4-=α，5(2,3,4)T α=-的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意，21311011210112135230361122142401200r r A r r ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪=----- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuuuuu r 23231321011210101300011012000120000011r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫↔- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuuuuu u r uuuuuuu r 故向量组A 的一个极大无关组为421,,ααα，其中3122ααα=+，512ααα=+8. 试求向量组1α=(1,1,2,2)T ,2α=(0,2,1,5)T ,3α=(2,0,3,-1)T ,4α=(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。

解:以1α,2α,3α,4α作为列构造矩阵A ,即A=(1α,2α,3α,4α)用初等行变换化A 为行阶梯形矩阵T,则T 的非零行的行数r 即为R(A),再化T 为行最简形T 0,则T 0中任意r 个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组.A=(1α,2α,3α,4α)=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4152031210211201→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2550211002201201→1021011000020002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000100001101201=T,所以R(A)=3. 故R(1α,2α,3α,4α)=3.四、证明题：（10分）1、 设向量组A ：321,,ααα线性无关，求证：212αα+，3232αα-，133αα+线性无关.证明：设存在数321,,k k k ，使0)3()32()2(133312211=++-++ααααααk k k 成立。

由0)3()32()2(133312211=++-++ααααααk k k 得，0)33()22()(332221131=+-+-++αααk k k k k k 。

K 2分Θ321,,a a a 线性无关⇒ K 4分 212αα+，3232αα-，133αα+线性无关.2.已知向量组123,,a a a 线性无关，1223132αααααα++2,+2,线性无关. .证：因为()()122313123101,,2,,210022ααααααααα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭+2+2 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=+0330220332131k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k2121011011221001216022022022r r ---==≠＝g因而向量组1223132αααααα++2,+2,线性无关. 3. 若向量组ααα123,, 线性无关， 而1123βααα=++，21232βααα=++，312323βααα=++，试 证：βββ123,, 线性无关。

证明：设存在常数123,,k k k ，使得k k k 1122330βββ++=得 ()()()k k k k k k k k k 1231123212333230++++++++=ααα 由ααα123,, 线性无关得 123123123020230k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，由于它的系数行列式11111210123D ==-≠由克莱姆法则，此方程只有零解 k k k 1230=== ,因此 βββ123,, 线 性 无 关。

方法2由已知，()123,,βββ=()123,,ααα111112123⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由于11111210123=-≠，故矩阵111112123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可逆， 由矩阵的秩的性质可知：()123,,R βββ=()123,,R ααα又因为向量组ααα123,, 线性无关，所以()123,,R ααα=3.则()123,,R βββ=3. 故βββ123,, 线 性 无 关.。