解三角形题型分类解析类型一：正弦定理1、计算问题：例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________3a +b +c = sin A sin B sin C例2、已知.'ABC中，.A =60 ,例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小；2、三角形形状问题例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边,a cos A1）试确定-ABC形状。
b cosB2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。
b cos A4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。
5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。
例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角在厶ABC中，若a2b2c2，则角C是直角；若a2b2 ::: c2，则角C是钝角；若a2b2c2，则角C是锐角.例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ，2、求角或者边例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=.例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2.(1)求C例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a • b • c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac(1)求/ B的大小；(2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 ,1 nsin B = —，C = 一，则b =.2 6例 2.(a c) J=1，贝q B等于。
ac例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为.41例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。
3例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A =sin C例6.若厶ABC的三个内角满足sin A:sin B :sinC =5:11:13，则△ ABC(A) —定是锐角三角形. (B) —定是直角三角形.(C) 一定是钝角三角形•(D) 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形•变：在ABC中，若sin A: si nB:s in C =3:5:7，贝U角C的度数为例7. △ ABC的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c=.3 5例8.设ABC的内角代B, C的对边分别为a,b, c，且cosA = —,cosB —,b = 3则c =5 13类型四：与正弦有关的解的个数思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在厶ABC中，bsinA v a v b,则此三角形有A. —解B.两解C无解 D.不确定例2：在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A a =7, b=14，A = 30 ;B b = 25，c = 30，C=150 ;C、b=4，c=5，B = 30 ; D a = 6，b = 3，B = 60。
例3:在- ABC中，a「，b —3( .0),. A = 45°,则满足此条件的三角形有几个？类型五：与A B ::有关的问题例1：在厶ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为_______________________ .变：在△ ABC中，已知sinC=2sin(B C)cosB，那么△ ABC一定是。
例2:在ABC中，角A, B , C对应的边分别是a, b, c.已知cos2A - 3cos B C =1.(I) 求角A的大小；(II) 若ABC 的面积S , b =5,求sinBsinC 的值.1 例3: △ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c.已知3acos C= 2ccos A，tan A=3，求3B.例4:在厶ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA =(2b - c)sinB - (2c - b)sinC(i)求A的大小；(n)求sinB sinC的最大值.类型六：边化角，角化边注意点：①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos 都存在时首先考虑边化角例1:在厶ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且满足csinA=acosC.(I)求角C 的大小；例2在厶ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别是 为例 3. △ ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C ,U^ ABC 为 A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例 4： (2011 全国)△ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , asin A + csin C — 2asin C =bsi n B.(1) 求 B ；(2) 若 A = 75° b = 2,求 a , c.例5 : ( 2016年四川高考)在厶ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cos A cosB _ sin C a b c(I) 证明：sinAsinB =sinC ；r 「 2 2 26(II) 若 b c -a bc ,求 tan B .5例6:( 2016年浙江高考)在厶ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为 a, b, c.已知b+c=2acosB. (I) 证明：A=2B ;a 2(II) 若厶ABC 的面积S= ，求角A 的大小.4例7：ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c .(I )若 a, b , c 成等差数列，证明： si nA ，sinC 二 2sin A C ; (II )若a, b, c 成等比数列，求 cosB 的最小值.类型七：面积问题 面积公式：2 22sin B — sin A 占a ,b , c.右 3a = 2b ，贝U 2 的值sin A例1：设L ABC 的内角A, B,C所对边的长分别是a,b, c，且b=3, c=1,△ ABC 的面积为...2求cosA 与a 的值;-4 _例2：在：ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B匕，cosA=5，b"3。
(I)求sinC 的值；(n)求:ABC 的面积•(I )求丄;(II )若a 二7 , b =2求的面积例4•在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足 (1)求厶ABC 的面积；(2)若c = 1,求a 的值.例5: (2013?浙江)在锐角△ ABC 中，内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且2asinB= ^b .(I)求角A 的大小；(n)若 a=6, b+c=8，求△ ABC 的面积.例6: ( 2016年全国I 高考) △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知2cosC(acosB+b cosA)二c.(I )求 C ；(II )若 C f3^/37, △ ABC 的面积为，求△ ABC 的周长.2题型八：图形问题例1:如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方 向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110° 航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是65°则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的 距离是多少？例3: AJTC 的内角C 所对的边分别为 a ， b ， c .向量 m= a, 3b 与cos —sin if )平行.AC=3,例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏 北75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD = m.正弦定理、余弦定理水平测试题、选择题2. 已知锐角△ ABC 的面积为3 3, BC = 4, CA = 3，则角C 的大小为A . 75 °B . 60 °C . 45 °D . 303. （2010上海高考）若厶ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C = 5 : 11 : 13,则厶ABCA . 一定是锐角三角形B .—定是直角三角形B. 一定是钝角三角形 D •可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5. （2010湖南高考）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,若/ C = 120 ° c = .2a ，则（）A . a >bB . a v bC . a = bD . a 与b 大小不能确定 二、填空题6. A ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 所对的边，已知 a = V 3, b = 3, C = 30 °贝U A =7. ____________________________________ （2010山东高考）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若a = 2, b = 2, sin B + cos B=\/2，则角 A 的大小为 .&已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列，且 AB = 1 , BC = 4，则边BC 上的中线 AD 的长为 _____________.1. 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a 2 + c 2— b 2= 3ac ，则角 B 的值为4•如果等腰三角形的周长是底边长的 5倍，那么它的顶角的余弦值为A.nB.nC.n 或n 2 n.护亍5 A*押.三、解答题9. △ ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c.若a2—c2= 2b,且sin B= 4cos As in C,求b.2 2 210. 在△ ABC 中，已知a + b = c + ab.(1)求角C的大小；(2)又若sin Asin B =3,判断△ ABC的形状.11. (2010浙江高考)在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,设S ABC的面积，且S=¥(孑+ b2—c2).(1)求角C的大小；(2)求sin A+ sin B的最大值.12. 【2015高考新课标2,理17】(本题满分12分)ABC中，D是BC上的点，AD平分.BAC , ABD面积是■ ADC面积的2 倍.,sin Z B(I )求；sin Z C(n )若AD =1 , DC 二2。