C 所包围的区域σ内全部是流 所包围的区域σ 体，没有固体或空洞。 没有固体或空洞。
29
复连通域 复连通域(多连通域)： 复连通域(多连通域)
C的内部有空洞或者包
含其他的物体。 含其他的物体 AB线将 切开， 线将σ AB线将σ切开，则沿周线 σ EA前进所围的区域 ABB，A，EA前进所围的区域 为单连通域。 为单连通域。
σ
（5－11） 11）
ωn
dσ C
环量与旋涡强度通过线积分 与面积分联系起来了。 与面积分联系起来了。
ω
r
28
证 明: 略
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域” 上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
Γc =
∫
c
Vs ds = ∫∫ Ωndσ = J 2 ∫∫ n d
σ
（5－11） 11）
单连通区域： 单连通区域：
正压、理想流体在有势质量力作用下， 正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。 涡管永远由相同的流体质点所组成。 涡管
36
§５-３ 海姆霍兹定理 ３
海姆霍兹第一定理 ——涡管强度守恒定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 海姆霍兹第一定理 说明涡管各截面上的旋 涡强度都相同。 涡强度都相同。 若涡管很小， 若涡管很小， ω 垂直于 dσ ，则上式可写成 ωdσ＝ const. ＝
19
涡管（ vortex tube ）：
在旋涡场中任取一微小封闭曲线C 在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是 涡线），过 上每一点作涡线， 涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成 ）， 的管状曲面称涡管。 的管状曲面称涡管。
涡管
涡丝（vortex filament）： filament）：
涡管中充满着作旋转运动的 流体，称为涡束。截面积为无 流体，称为涡束。 涡束 限小的涡束称为涡索（涡丝） 限小的涡束称为涡索（涡丝）。 涡索
∫c ∫c
V s ds
α
r r V ⋅ ds
x y
r ds C
dy + V z dz
Vs
∫ c V dx + V
25
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量 已知速度场，
对于无旋流场: 对于无旋流场
Γ AB ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = ∫ Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∫ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z AB AB = ∫ dϕ = ϕ B − ϕ A
2
§5-1旋涡运动的基本概念 旋涡运动的基本概念
有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动 有旋运动：
一般，整个流场中某些区域为旋涡区， 一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。 的地方则为无旋区域。 自然界中如龙卷风, 自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
ΓC +ΓL = 2∫∫ωndσ
σ
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Ｌ
Ｅ
C
(5(5-13)
这就是双连通域的斯托克斯定理。 这就是双连通域的斯托克斯定理。
31
r 单连域内的无旋运动， 单连域内的无旋运动，流场中处处 ω 为 推论一 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
Γ c = 2 ∫∫ ω n d σ = 2 ∫∫ 0d σ = 0
dΓ =0 dt
（5－14） 14）
34
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 在理想正压流体中, 1) 在理想正压流体中,速度环量和旋涡不生不 灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运 因为不存在切向应力， 动。 2) 推论 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的， 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 远有旋涡并保持环量不变， 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。 速度环量的 就永远无旋涡和速度环量。 例如，从静止开始的波浪运动， 例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后， 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。 浪运动是无旋运动。 35
C
用斯托克斯定理有: 用斯托克斯定理有:
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Γ ABB ' A' EA = 2∫∫ ωn dσ
σ
Ｌ
Ｅ
ΓABDB' AEA =ΓAB +ΓC +ΓBA′ +ΓL ′ '
C
30 区域在走向的左侧
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量 ΓL ：沿内边界顺时针的环量
ΓAB = ΓB′A′
积分路线相反，抵消掉了。 积分路线相反，抵消掉了。 最后有
Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？ 问题： 与前面学过的什么公式类似22 ？
二 二、速度环量（velocity circulation） 速度环量（ 、速度环量 circulation） 速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。 路径的线积分。
因素有关。 因素有关。 流体流过固体壁面时， 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外， 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。 的无旋运动。
17
旋涡场的几个基本概念： 旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线,涡管, 涡线(vortex line)： 涡线(vortex line)：
c
对于有旋场: 对于有旋场
Γc =
∫ V ds = 2 ∫∫ ω d σ σ
c s n
（5－11） 11）
27
此式称为斯托克斯定理
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理： 斯托克斯定理： 沿任意闭曲线的速度环量等于 该曲线为边界的曲面内的旋涡 强度, 强度,即 Γc＝J 或
Γc =
∫
c
Vs ds = ∫∫ பைடு நூலகம்ndσ = J 2 ∫∫ n d
A B
对于有旋场: 对于有旋场
r r 由公式 ΓAB = ∫ V ⋅ ds = ∫ Vxdx +Vy dy +Vz dz
AB AB
计算
26
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量 若已知速度场，
对于无旋场: 对于无旋场
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γc = ∫ Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∫ dx + dy + dz c c ∂x ∂y ∂z = ∫ dϕ = 0
第五章：旋涡理论( 第五章：旋涡理论(vortex theory)
第五章 课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？
为什么游泳时应避开旋涡区？ 为什么游泳时应避开旋涡区？ 旋涡场: 存在旋涡运动的流场 旋涡场:
即流场中
ω≠0
r
本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。 本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。 旋涡场的特性不同于一般流场， 旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究
σ
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
Ｌ
Ｅ
则 有：Γｃ＋ΓＬ＝０ 与积分路径方向一致时) 即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时 与积分路径方向一致时
C
33
§5-2 汤姆逊定理 假设： 假设： （1）理想流体； ）理想流体； （2）质量力有势； ）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数） 正压流体（流体密度仅为压力的函数） 汤姆逊定理: 汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 而变. 周线的速度环量不随时间而变. 即
3
龙卷风1 龙卷风1
4
龙卷风2 龙卷风2
5
海上漩涡
6
海上漩涡
7
飞机漩涡
8
气旋
9
气旋
10
气旋
11
园盘绕流尾流场中的旋涡 园盘形阻
12
园球绕流尾流场中的旋涡 圆球形阻
13
园柱绕流尾流场中的旋涡 圆 柱 绕 流 （ 交 替 涡 ）
14
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
机 翼 失 速 ( 有 攻 角)
18
由涡线的定义（ 涡矢量与涡线相切： 由涡线的定义 （ 涡矢量与涡线相切 ： 叉积为零） 得涡线微分方程式： 叉积为零），得涡线微分方程式：
dx dy dz = = ωx (x, y, z, t) ωy (x, y, z, t) ωz (x, y, z, t)
(5(5-1)
积分上式可得涡线。 若已知 ω x , ω y , ω z ，积分上式可得涡线。 与流线的积分一样， 看成参数。 与流线的积分一样，将ｔ看成参数。ｔ取定 值就得到该瞬时的涡线。 值就得到该瞬时的涡线。
涡线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量 与此线相切。 与此线相切。
ω2
r
ω3
r
ω
r
ω1
r
r ds
涡线微分方程： 涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
r r r 该处的旋转角速度 ω = ω x i + ω y j + ω z k r
r r r r d s = d x i + d yj + d zk
定义 Γ AB = ∫AB Vs ds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB 某瞬时在流场中任取曲线AB
r 微元弧 ds
r V Vs
B
Vs
r r :v 在 d s 向的投影 B r r ΓAB = ∫ Vds