1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得 涡线微分方程式：
dx dy dz
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
若已知 x ,y ,z ，积分上式可得涡线。
v2
r1
r2
ds ds dt

v2
v1

dv
因此
d
ds ds
v2
v ds v(
) vdv d 0
c dt
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds

c
dv dt
ds

c
v
d dt
ds
由欧拉方程
dv

F

1
p
dt

第一项积分可写成
任取微分面积dσ ， 法线分量为ω ｎ
则 dＪ＝ω ndσ
为dσ 上的旋涡强度(涡通量)
n

沿σ 面积分得旋涡强度：
d
J nd
若σ 是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度。
Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？
二、速度环量（velocity circulation）
度的两倍,即 Γｃ＝２J
或 c cVsds 2 nd
环量与旋涡强度通过线积分
n

与面积分联系起来了。
d
C
证 明:
流场中取微元矩形abcd
d abcda

vx dx

(vy

vy x
dx)dy
(vx

vx y
dy)dx
vydy
(vy vx )dxdy x y
本章讨论内容：
1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）
2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.旋涡诱导速度的一般提法 7.兰金组合涡
旋涡运动的基本概念
有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。
2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。
例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。
又如绕流物体的流动，远前方流动对物体 无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运动。
C 2nd 2J
推广到有限大平面
证毕
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
复连通域(多连通域)： C的内部有空洞或者包
含其他的物体。
AB线将σ 切开，则沿周线
σ
ABB，A，EA前进所围的区域
为单连通域。 用斯托克斯定理有:
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱
导速度是：
dv


4r 2
sin
dx
ＭＮ段对Ｐ点的
诱导速度：
v


2
sin d
4 R 1


4 R
(cos1
cos2 )
方向垂直于纸面向外
直涡丝ＭＮ
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v


4 R
(cos1

cos2
对于无旋流场:
AB

Vx dx
AB
Vy dy
Vz dz

AB

x
dx


y
dy


z
dz
B
A d B A
对于有旋场:
由公式 AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
计算
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
而 ab ba 0
因为ab ba
故得 0
由斯托克斯定理上式写成: nd nd
1
2
或 nd const. 即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截
面上的旋涡强度都相同。
若涡管很小， 垂直于 dσ ，则上式可写成
这就是双连通域的斯托克斯定理。
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
c 2nd 2 0d 0


反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处为零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
即 C L 2 nd 则 有：Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
汤姆逊定理 假设： （1）理想流体； （2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的数） 汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVs ds
某瞬时在流场中任取曲线AB
V Vs
B
微元弧 ds
Vs : v 在 ds 向的投影
ds
A
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
向相同时（成锐角）为正,反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即
Γ AB＝－Γ BA
c
dv dt
ds

c
(F

1

p)ds

若质量力有势则 F U
若流体正压则 p p P

c
dv dt
ds
c (U
P)ds

c d (U
P)

0
所以 d 0
证毕
dt
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平 面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的， 在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将 旋涡内部和外部分开。
一、速度分布
（1）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动
Vr 0, V r
（r < R）
在旋涡中心（0＜r＜R）：速度呈线性分布
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。
毕奥一沙伐尔定理
已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题．
问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其
它区域全为无旋区。 例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为
)


4 R
[1
(1)]


2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v


4 R
(cos1

cos2
)


4 R
[0

(1)]


4 R
在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动
都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面
点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速
ωdσ＝ const.
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡 管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随 时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
y
d
vx

vx y
dy
c
而
( v y x

vx y
)

2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy

vy x
dx
a vx
0
b x
d 2zdS 2ndS 2dJ
将C域分为若干微矩形, 对各微分面积求d
两邻矩形公共边积分 反向,速度环量其和为零。
内部线段环量相互抵消， 只剩外部边界的环量。
度为:

v 2 R
vr 0
R为场点至点涡的距离 已证明这种速度场是无旋的。
如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。
兰金（Rankin）组合涡
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。
已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角 速度就是ω 。
旋涡诱导速度场。
涡丝诱导的速度场的计算: 为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中
的毕奥——沙伐尔定理引用过来。
诱导速度场与电磁场的类比
磁场
带电导线 电流强度ｉ 诱导磁场强度 dH
诱导速度场
涡丝(线) 旋涡强度 诱导速度场 dV
电磁场与诱导速度场的类比
ds sin
dH i r 2Fra bibliotek场点电磁学中，电流强度为ｉ的导线，微元导