导数大题专题【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。

作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.一、常用结论1. sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. 2.1x e x >+ 3.ln(1)x x >+ 4. ln ,0x x x e x <<>.二、导数题型1.导数单调性、极值、最值的直接应用 2.交点与根的分布 3. 不等式证明（1）作差证明不等式（2）变形构造函数证明不等式（3）替换构造不等式证明不等式4. 不等式恒成立求字母范围（1）恒成立之最值的直接应用（2）恒成立之分离常数（3）恒成立之讨论字母范围5.函数与导数性质的综合运用 6. 导数应用题7. 导数结合三角函数【考点例题解析】一、导数单调性、极值、最值的直接应用例题1.（切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.例题2（天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.变式 1.（最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnx －a x.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值.2.已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.3.已知函数()ln ,().x f x x g x e ==⑴若函数φ (x) = f (x)－11x x +-，求函数φ (x)的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y=g(x)相切．二、交点与根的分布1、（2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间； ⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．2.（2011省模，利用⑴的结论，转化成根的分布分题）已知a ∈R ，函数()ln 1,()(ln 1),x a f x x g x x e x x =+-=-+（其中 2.718e ≈） （I ）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（II ）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()yg x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。

变式1.已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程m ex x x f x +-=2)(ln 2的根的个数．2.已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式；⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值； ⑶若过点()()2,2Mm m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．三、不等式证明1、作差证明不等式1.（2010湖南，最值、作差构造函数）已知函数x x x f -+=)1ln()(．(1)求函数)(x f 的单调递减区间；(2)若1->x ，求证：111+-x ≤)1ln(+x ≤x ．2.（2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易） 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3lng x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：当0x >时，()()f x g x ≥．3.（2009全国II 理21，字母替换，构造函数）设函数()()2ln 1f x x a x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <⑴求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； ⑵证明：()212ln 24f x ->.2、变形构造函数证明不等式1.（变形构造新函数，一次）已知函数()(1)ln f x a x ax =+-．⑴试讨论()f x 在定义域内的单调性；⑵当a ＜－1时，证明：12,(0,1)x x ∀∈，1212|()()|1||f x f x x x ->-．求实数m 的取值范围．2.（2011辽宁理21，变形构造函数，二次）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f .⑴讨论函数)(x f 的单调性； ⑵设1-<a ，如果对任意),0(,21+∞∈x x ，|)()(|21x f x f -≥||421x x -，求a 的取值范围.3、替换构造不等式证明不等式1、（第3问用第2问）已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：()(2).2b a f a b f a a -+-<2、（替换构造不等式）已知函数1)(2++=x b ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵设x x g ln )(=，求证：)(x g ≥)(x f 在),1[+∞∈x 上恒成立；（反比例，变形构造） ⑶已知b a <<0，求证：222ln ln ba a ab a b +>--.（替换构造）3、已知()22(0)b f x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行. （1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：11111(21)()3521221n n n n n +++++>++∈-+12)12ln(21+++n n n （n ∈N*）四、不等式恒成立求字母范围1、恒成立之最值的直接应用1、（2011北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数2()()x k f x x k e =-。

⑴求()f x 的单调区间；⑵若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 的取值范围.2、恒成立之分离常数2、（分离常数） 已知函数()ln 1,.a f x x a R x =+-∈ (1) 若()y f x =在0(1,)P y 处的切线平行于直线1y x =-+，求函数()y f x =的单调区间；(2) 若0a >，且对(0,2]x e ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.2、(恒成立，分离常数，涉及整数、较难的处理)已知函数).0()1ln(1)(>++=x xx x f （Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1)(+>x k x f 恒成立，求整数k 的最大值；（较难的处理） （Ⅲ）求证：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e 2n －3.3、恒成立之讨论字母范围1、（2007全国I ，利用均值，不常见）设函数()e e x x f x -=-．⑴证明：()f x 的导数()2f x '≥；⑵若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．2.已知函数1ln )1()(+-+=x x x b x f ，斜率为1的直线与)(x f 相切于(1,0)点. （Ⅰ）求()()ln h x f x x x =-的单调区间；（Ⅱ）当实数01a <<时，讨论21()()()ln 2g x f x a x x ax =-++的极值点。

（Ⅲ）证明：(1)()0x f x -≥.五、导数结合三角函数1、已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数．（I ）求λ的最大值；（II ）若]1,1[1)(2-∈++<x t t x g 在λ上恒成立，求t 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程m ex x x f x +-=2)(ln 2的根的个数．2、设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当3a >，[]10k ∈-，时，若不等式22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k 的值。

六、函数与导数性质的综合运用1、（综合运用）已知函数()()x f x xe x -=∈R ⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x > ⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>2、已知函数()ln(1),()1x f x x g x e =+=-，（Ⅰ）若()()F x f x px =+，求()F x 的单调区间；（Ⅱ）对于任意的210x x >>，比较21()()f x f x -与21()g x x -的大小，并说明理由．七、导数应用题如图，ABCD 是正方形空地，正方形的边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 的距离分别为9m 、3m ，某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ：NE=16：9，线段MN 必须过点P ，满足M 、N 分别在边AD 、AB 上，设()AN x m =，液晶广告屏幕MNEF 的面积为2().S m（I ）求S 关于x 的函数关系式，并写出该函数的定义域；（II ）当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？。