2、(2013 课标全国Ⅰ，理 21)设函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线 y＝f(x) 和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2.
(1)求 a，b，c，d 的值；
解：(1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4. 而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
,
时，
f
x
0，
x
0,
2a 3
时，
f
x
0
，
所以函数
f
x
在
,0
，
2a 3
, 上单调递增，在 0,
2a 3
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高考数学专题复习——导数
目录 一、有关切线的相关问题 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布
1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明
1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用
f (x)min 0.
(9)设 f (x) 与 g(x) 的定义域的交集为D，若 x D f (x) g(x) 恒成立，则有
f (x) g(x) 0. min
(10)若对 x1 I1 、 x2 I2 ， f (x1) g(x2 ) 恒成立，则 f (x)min g(x)max . 若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ,则 f (x)min g(x)min . 若对 x1 I1 ， x2 I2 ，使得 f (x1) g(x2 ) ，则 f (x)max g(x)max .
(7)若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)min 0 ; 若 x I ， f (x) 0 恒成立，则 f (x)max 0
(8) 若 x0 I ， 使 得 f (x0 ) 0 ， 则 f (x)max 0 ； 若 x0 I ， 使 得 f (x0 ) 0 ， 则
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极小值小于 0.
(13)证题中常用的不等式:
x x +1
① ln x x 1 (x 0)
③ ex 1 x
⑤ ln x x 1 ( x 1) x 1 2
⑦ sinx<x (0<x<π)
② ≤ ln（x+1）x (x 1)
④ ex 1 x
⑥ ln x 1 1 (x 0) x2 2 2x2
f (x)
aex ln x
a ex x
b x2
ex1
b ex1 x
学海无 涯 由题意可得 f (1) 2, f (1) e ，故 a 1,b 2
……………6 分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用 （一）单调性 1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题：【2015 高考江苏，19】
已知函数 f (x) x3 ax2 b(a, b R) .
（11）已知 f (x) 在区间 I1 上的值域为 A,， g(x) 在区间 I2 上值域为B，
若对 x1 I1 , x2 I2 ，使得 f (x1 ) = g(x2 ) 成立，则 A B 。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0 有两个不等实根 x1 、x2 ，且极大值大于 0，
⑧lnx<x< ex (x>0)
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一、有关切线的相关问题
例题、【2015 高考新课标 1，理 21】已知函数 f（x）= x3 ax 1 , g(x) ln x . 4
(Ⅰ)当 a 为何值时，x 轴为曲线 y f (x) 的切线； 【答案】（Ⅰ） a 3
4
跟踪练习：
1、【2011 高考新课标 1，理 21】已知函数 f (x) a ln x b ，曲线 y f (x) 在点(1, f (1)) x 1 x
恒为 0）.
(5)函数 f (x) （非常量函数）在区间 I 上不单调等价于 f (x) 在区间 I 上有极值，则可等价转化 为方程 f (x) 0 在区间I 上有实根且为非二重根。 （ 若 f (x) 为二次函数且I=R，则有 0 ）。
(6) f (x) 在区间 I 上无极值等价于 f (x) 在区间在上是单调函数，进而得到 f (x) 0 或 f (x) 0 在 I 上恒成立
故 b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
3、(2014 课标全国Ⅰ，理 21)设函数 f (x0 ae xln x
bex1 ，曲线 y
f (x) 在点（1，f
x (1)
处的切线为 y e(x 1) 2. (Ⅰ)求 a,b ；
【解析】：(Ⅰ)
函数
f (x) 的定义域为0,，
（1）试讨论 f (x) 的单调性；
【答案】（1）当 a 0 时， f x 在 , 上单调递增；
当 a 0 时，
f
x
在
,
2a 3
，
0,
上单调递增，在
2a 3
,0
上单调递减；
当 a 0 时，
f
x
在
,0
，
2a 3
,
上单调递增，在
0,
2a 3
上单调递减．
当 a 0 时， x , 0
2a 3
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导数运用中常见结论
(1)曲线 y f (x) 在 x x0 处的切线的斜率等于 f (x0 ) ，且切线方程为
y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) 。
(2)若可导函数 y f (x) 在 x x0 处取得极值，则 f (x0 ) 0 。反之，不成立。
(3)对于可导函数 f (x) ，不等式 f (x) 0（ 0）的解集决定函数 f (x) 的递增（减）区间。 (4)函数 f (x) 在区间 I 上递增（减）的充要条件是：x I f (x) 0 ( 0) 恒成立（ f (x) 不
处的切线方程为 x 2y 3 0 。
（Ⅰ）求 a 、 b 的值；
解 ：（Ⅰ） f '(x) x( x 1b ln x)
(x 1)2
x2
由于直线 x 2y 3 0 的斜率为
1 2
，且过点(1,1)
，故
f f
(1) 1, '(1)
1, 即 2
b 1,

a 2
b
1 2
,
解得a 1 ， b 1。