双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。

（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

注：若双曲线过两点，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。

如 已知双曲线过点(A -与4)B ，求双曲线的标准方程方法一 ： 运用定义【典例1】已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

【典例2】已知1F （-4，0），2F （4，0），动点P 分别满足下列条件，求点P 的轨迹方程： （1） 12||||||2-=PF PF ，（2） 12||||2-=PF PF【典例3】动点M 到定点F （4，0）的距离和直线94x =的距离的比为43，则M 的轨迹方程【典例4】已知ABC ∆中，C （-2，0），B （2，0），1sin sin sin 2B C A -=，求顶点A 的轨迹方程.练习 1已知双曲线的实轴长为8，直线MN 过焦点1F 交双曲线的同一分支与M ，N 且7=MN ,则2MNF ∆的周长（2F 为另一个焦点）为 （ ） A. 28 B. 30 C. 24 D. 202． 双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关方法二 ： 运用待定系数法步骤 ①定位 ②设方程 ③定值【典例1】求下列双曲线的标准方程；（1）焦点是1(30)F -，20y -=（2）渐进线是y x =±，经过点（3，2） （2）实轴长为4，虚轴长为2 （3）准线方程为x=4，离心率为2 （4） 焦点为（4，0），（-4，0），经过(2,0)（5）双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为2y x =，焦距为4，则双曲线的标准方程为 。

考点三 双曲线的几何性质题型一 几何性质简单应用【典例1】双曲线221412x y -=，求（0）画草图（1）焦点，焦距（2）实轴的长，虚轴的长，（3）离心率，左右准线方程，（4）渐进线的方程(5)焦点到渐近线的距离（6）焦点到准线的距离；（7）P 在右支上，则P 到左焦点的距离的最小值是 .练习 （1）双曲线22166-=y x ，离心率是 ，渐近线方程是 。

(2)双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的左右顶点为1A ，2A ，虚轴下上端点为1B ，2B ，左右焦点为1F ，2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122FB F B ，切点分别为,,,A BCD （从第一象限按逆时针顺序）则 （Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = .题型二 求与离心率及渐近线有关问题 【典例1】离心率（1）双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=（） A.3 B.5 C.3 D.2（2）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为（ ） A ．32 B ．2 C ．52D ．3 （3）已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lge 1＋lge 2( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于1练习（1）已知12F 、F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是（ ）A ．(1,1B ．()1+∞C ．(1+D ．)1+（2）在正三角形ABC 中，BC DE AC E AB D 21,=∈∈，向量，则以B 、C 为焦点，且过D 、E 的双曲线的离心率为（ ） A ．35B ．13-C ．12-D ．3+1（3）若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 的离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为______。

【典例2】渐近线（1）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为________。

（2）双曲线的渐进线方程x y 43±=,则双曲线的离心率为______。

（3）焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x（4）F 1,F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的上端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是（ ）A. 3B. 2D.练习 与双曲线191622=-x y 有共同渐近线，且经过点)32,3(-A 的双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离是______。

方法归纳： 1渐进线方程为x mny ±=的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠。

2 与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠【典例3】（渐近线夹角问题）（1）若双曲线的两条渐近线夹角是a 2，求它的离心率e ；（2）若双曲线的离心率是e ，求它的两条渐近线夹角余弦值。

题型三 焦点三角形方法：解决焦点三角形时，①要利用正弦定理、余弦定理、双曲线的第一定义，②关键是配凑出12||||||PF PF -的形式，③注意点P 在双曲线的哪一支上.例 已知双曲线方程为22221(0,0),x y a b a b-=>>左右两焦点分别为,,21F F 在焦点△21F PF 中，0112212P(,)PF PF FPF o x y r r θ∠设为椭圆上一点，＝，＝，＝则结论(1) 定义：122r r a -＝ (2) 余弦定理：22221212121212(2)2cos ()22cos c r r r r r r r r r r θθ==-+-＋－ (3) 面积12212011sin 2tan 2pF F S r r c y b θθ∆=== 【典例1】椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21F F 、，P 是两曲线的一个焦点，则21cos PF F ∠的值为（ ） A.41 B.31 C.32 D.31-【典例2】 设21F F 、为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上满足21PF F ∠＝ 60，则21PF F ∆的面积是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2练习 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点12,F F ，且12||F F =轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。

（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求12cos F PF ∠的值。

题型四 求最值【典例1】辽宁）已知F 是双曲线221412y x-=的左焦点，定点A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为_________。

【典例2】P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，N M 、分别是圆4)522=++y x （和1)522=+-y x （上的点，则||||PN PM -的最大值为练习 已知F 是双曲线127922=-y x 的右焦点，点M 是双曲线右支上的动点，点A 的坐标为（3,211） 求||21||MF MA +的最小值为及对应的点M 的坐标。

考点四 直线与双曲线的位置关系一 位置关系判断1 判断直线与双曲线相交0>∆⇔;直线与双曲线相切0=∆⇔;直线与双曲线相离0<∆⇔注意：直线与双曲线有一个公共点时，它们不一定相切，也可能相交（即直线与双曲线的渐近线平行）【典例】已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有 （ ） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条练习：已知不论m 取何实数，直线y=k x +m 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数k 的取值范围.2．弦长问题步骤：由双曲线方程)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 方程0Ax By C ++=联立建立方程组，消元后得到的一元二次方程的根是直线和双曲线交点的横坐标或纵坐标，利用韦达定理写成两根之和与两根之积 3．弦长公式直线y ＝kx ＋b(k ≠0)与圆锥曲线相交于A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点，则（1）当直线的斜率存在时，弦长公式： 12AB x =-212()x x +当斜率k 存在且不为零时12AB y y =-122()y y =+。