三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念

例1 设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点．若3||1PF，则||2PF

（ ） A．1或5 B．6 C．7 D．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出2||PF的值．

解：双曲线19222yax渐近线方程为xa3，由已知渐近线为023yx， 122,||||||4aPFPF，||4||12PFPF.

12||3,||0PFPFQ，7||2PF. 故选C． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解

例2(2009山东理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx

只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）

A．45 B．5 C．25 D．5 解析：双曲线12222byax的一条渐近线为xaby，由方程组21byxayx



，消去y，得210bxxa有唯一解，所以△=2()40ba，

所以2ba，2221()5cabbeaaa，故选D． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．

例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx．由题意有

00

0

2yxx．又有2001yx，联立两式解得:2201,2,1()5bbxeaa．

因此选C． 例4（2009江西）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点，若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A．32 B．2 C．52 D．3 解析：由3tan623cb有2222344()cbca，则2cea，故选B． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3tan623cb

，体现数形结合思想的应用．

（三）求曲线的方程 例5（2009，北京）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率

为3，右准线方程为33x． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点在圆225xy上，求m的值． 分析：（1）由已知条件列出,,abc的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值．

解：（1）由题意，得2333acca，解得1,3ac.

∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx． （2）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段的中点为00,Mxy，

由22120yxxym得22220xmxm（判别式0）， ∴12000,22xxxmyxmm， ∵点00,Mxy在圆225xy上， ∴2225mm，∴1m． 另解：设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段的中点为00,Mxy，

由221122221212yxyx，两式相减得121212121()()()()02xxxxyyyy. 由直线的斜率为1，121200,22xxyyxy代入上式，得002yx. 又00(,)Myx在圆上，得22005yx，又00(,)Myx在直线上，可求得m的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

例6 过(1,1)M的直线交双曲线22142xy于,AB两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程． 分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k，利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线AB的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解． 解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k，则方程为1(1)ykx．

由221421(1)xyykx消去y得222(12)4(1)2460①kxkkxkk 设),(),(221,1yxByxA，由于M为弦AB的中点， 所以1222(1)1212xxkkk，所以12k． 显然，当12k时方程①的判别式大于零. 所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy． 解法二：设),(),(221,1yxByxA，则 2211

2222

1②421③42xyxy









①－②得12121212()()2()()0xxxxyyyy.

又因为12122,2xxyy，所以12122()xxyy． 若12,xx则12yy，由12122,2xxyy得121xx，121yy． 则点AB、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12xx． 所以121212yykxx． 所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy． 经检验直线210xy符合题意，故所求直线为210xy． 解法三：设A（xy，），由于AB、关于点M（1，1）对称，所以B

的坐标为（22xy，），则2221,42(2)1.2xyy2(2-x)4消去平方项，得210xy． ④ 即点A的坐标满足方程④，同理点B的坐标也满足方程④． 故直线AB的方程为210xy． 归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在． （四）轨迹问题

例7 已知点100(,)Pxy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA

并延长交y轴于2P．求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程． 分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P

是线段1P2P的中点，可利用相关点法． 解：由已知得208(3,0),(,)3FbAby，则直线2FA的方程为：03(3)yyxbb．

令0x得09yy，即20(0,9)Py．

设Pxy（，），则0000 2952xxyyyy， 即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb， 即P的轨迹E的方程为22221225xybb．()xR 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法． （五）突出几何性质的考查

例8（2006江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则||||PMPN的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：双曲线的两个焦点1(5,0)F与2(5,0)F恰好是两圆的圆心，欲使||||PMPN的值最大，当且仅当||PM最大且||PN最小，由平面几何性质知，点M在线段1PF的延长线上，点N是线段2PF与圆的交点时所求的值最大.

此时12||||(2)(1)PMPNPFPF9321PFPF．因此选D． 例9（2009重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e． （1）求该双曲线的方程； （2）如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标.

分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MAMB、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解． 解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线

的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255a

c，

由5e得5ca． 解得1,5ac.从而2b，该双曲线的方程为2214yx. （2）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，