双曲线常考重难点题型归纳必考点1： 双曲线的定义1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形例题1： 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -上的点，则|OP |=（ ） A ．222B 410C 7D 10【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= D. 例题2： 已知F 为双曲线22:149x y C -=的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(13,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为________．【解析】根据题意，双曲线22:149x y C -=的左焦点(13,0)F -，所以点(13,0)A 是双曲线的右焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：||||24PF AP a -==① ||||24QF QA a -== ②而||12PQ =，①＋②得：||||||8PF QF PQ +-=，∴周长为||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=．故答案为：32．【小结】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．双曲线的标准方程例题3： 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.2213x y -= D.2213y x -=【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==，双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.【小结】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a b λλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C 可以变形为x 2C A ＋y 2C B ＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B ＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．必考点2： 双曲线的实际应用例题4： 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.【解析】如图以AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立坐标系，设炮弹爆炸点为(,)P x y ，由题知：3402680800PA PB -=⨯=<. 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，2680a =的抛物线的右支. 即340a =，400c =，22244400b c a =-=.所以P 的轨迹方程为22111560044400x y -=(340)x ≥.【小结】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．焦点三角形问题例题5： 设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【解析】5ca =，5c a ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=， ()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.例题6： 设12,F F 是双曲线221916x y -= 的两个焦点，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，求△12F PF 面积【解析】双曲线221916x y -=的3,5,a c ==不妨设12PF PF >，则1226PF PF a -==22212121202cos6F F PF PF PF PF =+-⋅︒，而12210F F c ==得22212121212()100PF PF PF PF PF PF PF PF +-⋅=-+⋅= 1264,PF PF ⋅=故12121sin 601632F PF PF P S F =⋅⋅︒=△【小结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形． 令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a ．(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ．一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所以求问题就会顺利解决．已知双曲线的方程，研究其几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线 y ＝±b a xy ＝±a b x离心率e ＝ca ，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)例题7： 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为【解析】，双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限，联立，解得，故联立，解得，故， ， 面积为：双曲线，其焦距为当且仅当取等号， 的焦距的最小值：8例题8： 已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，2，则点(4,0)到C 渐近线的距离为（ ） A 2B ．2C ．322D ．2【解析】2e 1()2c ba a==+=1b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d 2211==+ D例题9： 已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，双曲线C= 【小结】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为b a ===可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．必考点3： 由双曲线的性质求双曲线的方程例题10：已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择A 选项. 【小结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．必考点4： 求双曲线的离心率(或范围)例题11：双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒ 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，选D例题12：已知双曲线C ：2222x y 1(a b 0)a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且ππθ,124⎛⎫∈⎪⎝⎭，则双曲线C 离心率的取值范围是______．【解析】设双曲线的左焦点为，连接，，AF FB ⊥，可得四边形为矩形，设AF m =，BF n =，即有，且222m n 4c +=，n m 2a -=，m tan θn=， 22222222222c 4c m n 11e 2mn 2a 4a m 2mn n 11m n m n n m+=====-+--++1211tan θtan θ=-+， 由ππθ,124⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()t tan θ23,1=∈，则()1t 2,4t +∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+，则()12,211tan θtan θ∞∈+-+，即有)e 2,∞∈+例题13：设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a === 【小结】1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用c e a ==必考点5： 与双曲线有关的综合问题例题14：在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______.【解析】依题意知，()14,0F 为双曲线的右焦点，设双曲线的左焦点为F ，则(4,0)F -， 设点P 为两曲线的交点，则由双曲线及椭圆的定义可知，1||||4PF PF -=，12||||2PF PF a +=，则2||||24PF PF a +=+222||(48)(09)15FF ≥=--+-=，所以有112a ≥. 所以椭圆的通径为222222222b a c c a a a a-==-，这里22122||(48)(09)97c F F ==-+-=， 所以由函数的单调性可知，当112a =时，椭圆的通径最小，最小值为9722441111112⨯-=.故答案为：2411 例题15：已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 【解析】如图所示，由题意可得360OA a AN AM b MAN AP ===∠=︒∴=，，，，，OP ∴=22223||||4OA PA a b -=-C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34AP OP a b =-．又tan θ=b a ，223234b a a b =-，得a 2=3b 2，∴221231133b a +=+= 【小结】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0）的离心率是5 则a =（ ）A ．6B ．4C ．2D ．12【解析】∵双曲线的离心率5c e a == ，21c a =+ ，∴215a a+= ，解得12a = ，故选D. 2．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于（ ）． A.2B.22C.4D.42【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．3.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为( )A 5B 3C ．2D 2【解析】由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴= 在2Rt PO F 中，222cos P O PF b F OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c +-∠==，)2222246322b c a bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e 3∴= B.4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）AB．2C．D．【解析】由2,a b c====．,2PPO PF x=∴=，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，11224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．5.（2020·山东海南省高考真题）【多选题】已知曲线22:1C mx ny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则CC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=D．若m=0，n>0，则C是两条直线【解析】对于A，若0m n>>，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，因为0m n>>，所以11m n<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0m n=>，则221mx ny+=可化为221x yn+=，此时曲线C B不正确；对于C，若0mn<，则221mx ny+=可化为22111x ym n+=，此时曲线C表示双曲线，由220mx ny+=可得y=，故C正确；对于D，若0,0m n=>，则221mx ny+=可化为21yn=，yn=±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.6.（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是____. 【解析】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：327.（2020·全国高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.8.（2017·上海高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________【解析】 由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -==，又因为15PF，所以2||11PF =.9.（2019·浙江高三月考）已知1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.【解析】因为1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，所以1(2,0)F -，设点),sin P θθ，由2213cos sin 2cos OP OF c θθθ=⇒+==⇒=，不妨取正即P ⎝⎭， 代入双曲线方程得：2262144a b-=， 又224a b +=，即1a b ==；即2C 的渐近线方程为y x =±.10.（2020·全国高三课时练习（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2bBF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2.11.（2019·陕西高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，122MF a MF =+，则22b a=______.【解析】不妨设点M 在第一象限，设1MF m =，2MFn =，则2m a n =+，而12MF MF ⊥，故2224m n c +=，联立两式可得，2222mn c b =-，联立222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩，可得(),M a b ，由三角形的面积公式可得11222mn cb =⋅，即22c b cb -=，故a bc =2，即422a b c =，故()4222a b a b =+，故42240b a b a +-=，则4210b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =12.（2019·湖南高三月考（理））已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与圆222x y a +=相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若114F P FT =，则双曲线C的离心率为______.【解析】如图，由题可知12OF OF c ==，OT a =，则1FT b =，又114F P FT =，3TP b ∴=，14F P b ∴=， 又122PF PF a -=，242PF b a ∴=-作2//F M OT ，可得22F M a =，TM b =，则2PM b = 在2MPF ∆，22222PM MF PF +=，即()222c b a =-，2b a c =+又222c a b =+，化简可得223250c ac a --=，同除以2a ，得23250e e --=，解得53e =13.（2018·全国高考真题（理））已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________． 【解析】设()()1122A ,,B ,x y x y ，则2112224{4y x y x ==，所以22121244y y x x -=-，所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴，因为M(-1,1)，所以01y =，则122y y +=即k 2=14．（2020·浙江吴兴 湖州中学高三其他）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为P ，l 与另一条渐近线交于Q 点.若223F Q F P =，则该双曲线的离心率为_______. 【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为by x a=±，设右焦点()2,0F c ， 不妨令直线l 垂直于直线b y x a =，则直线l 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc P a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为222+=a b c ，所以点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得点22222,a c abc Q a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 又223F Q F P =，所以223abc ab a b c-=⋅-即()2222223333c a b a c a -=-=--，所以223c a =，所以该双曲线的离心率c e a ===15．（2020·湖北黄石港 黄石二中高二月考（理））已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m nΩ-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________.【解析】设焦距为2c ，在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+，即22a c m c -=+，所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1，即1c c a m ⨯= ，即2c a m=，所以2c m c m +=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --=由一元二次方程求根公式可求得e =因为双曲线中1e >所以e =16．（2020·湖北高三月考（理））已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过A 作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，且4||||5MN OA =（O 为坐标原点），则此双曲线的离心率是___. 【解析】由题意，(),0A a -，双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨令AM 与直线b y x a =垂直，AN 与直线b y x a =-垂直，则AM a k b =-，AN ak b=， 所以直线AM 的方程为：a yx a b ；直线AN 的方程为：()ay x a b=+； 由()a y x a b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：3222a x c ba y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（其中222c a b =+），则3222,a ba M c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； 由()a y x a b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：3222a x c bay c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3222,a ba N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以222ba MN c =， 又4||||5MN OA =，所以22245ba a c =，即225c ab =，即222520a ab b -+=，解得：2a b =或2ba =（不满足a b >），所以此双曲线的离心率是2c e a ====.。