二、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念分别是双曲线的左、右焦点•若 | PF i | 3，则 |PF 2 |(B . 6C . 7分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出| PF 2 |的值.Q| PF 1 | 3,|PF 2| 0, |PF 2 | 7.故选C .归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法.（二）基本量求解则双曲线的离心率为（B . 5设P 是双曲线2x~2a2—1上一点，双曲线的一条渐近线方程为9 3x 2 y 0，F 1、F 22x解析：双曲线—a2yb 21的一条渐近线为 ybx ，由方程组 a— xa ，消去 y ,得 x 2 1x 2bx 1 a0有唯一解，所以△K 所以—a.5，故选D .D . 9a 的值，利用双曲线的定义求出2x解： 双曲线Va2才1渐近线方程为y=3 x ，由已知渐近线为3x 2y 0 ,aa 2, ||PF 1|| PF 21| 4 , |PF 2| 4 |PF i |.例2（2009山东理）设双曲线 2x~2 a2与 1的一条渐近线与抛物线b 21只有一个公共点,C .归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解. 本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能.因此选c.合思想的应用.（三）求曲线的方程切,2 x 例3 （2009全国I理）设双曲线2a则该双曲线的离心率等于（）2yb21 （a>0, b>0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相B.2C. 5y o解析：设切点P（X o,y o），则切线的斜率为y |x X0 2x o •由题意有y。
X02X0 .又有2 2bx1，联立两式解得：x01, 2, ea(b)2a .5 •2 x 例4 （2009江西）设F-i和F2为双曲线一2a 2 yb21(a 0,b 0）的两个焦点, % F2 , P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（B.解析：由tan6c2bf 有3c2 4b2 4(c2a2)，则e 2，故选B.归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征, 从而得出tanc '一32b 3，体现数形结D. 32 2(1) 求双曲线C 的方程；(2) 已知直线x y m 0与双曲线 C 交于不同的两点 A , B ,且线段 AB 的中点在圆2 2x y 5上，求m 的值.(2)设A 、B 两点的坐标分别为x i , y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为Mx 0,y 0 ,另解：设A 、B 两点的坐标分别为 x 1,y 1 , x 2,y 2，线段AB 的中点为M x 0,y 0 ,联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值.2a解：(1)由题意，得c 3 解得 a 1,c/3.c ‘3a2.2 2 2几••• b c a 2,•••所求双曲线C 的方程为x 212分析: 1 )由已知条件列出 a,b,c 的关系，求出双曲线 例5 (2009，北京)已知双曲线C ：b 21(a 0,b 0)的离心率为.3，右准线方程C 的方程；(2)将直线与双曲线方程2由x2y1 2得x 222mx m 2 0 (判别式x y m…x 0 x 1 %2m,y 。
x 0 m 2m ,•••点 Mx 0, y ° 在圆x 2y 2 5上,2• m 2m 2 5 ,• m 1.0),2111 ③2X i由2X 2由直线的斜率为1, X ) 霸竺』。
工学 代入上式，得y 0 2x 0.又M(y o ,x 。
)在圆上，得y 。
2 X 02 5，又M(y o ,x 。
)在直线上，可求得 m 的值. 归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识， 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.2 2例6过M (1,1)的直线交双曲线 —'1于A, B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线42AB 的方程.分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率•为此可设其斜率是 k ，利用M 为弦AB 的中点，即可求得 k 的值，由此写出直线 AB 的方程•也可设出弦的两端点坐标用“点差法” 求解.解法一：显然直线AB 不垂直于X 轴，设其斜率是 k ,则方程为y 1 k (X 1) •2 2X _ y_ 1由 42 消去 y 得(1 2k 2)x 24k(1 k)x 2k 2 4k 6 0 ①y 1 k(x 1)设Agy), B(X _, y _)，由于M 为弦AB 的中点， 所以x ^空兽1 k 1 •21 2k2 21 显然，当k时方程①的判别式大于零.21所以直线AB 的方程为y 1-(x 1)，即x 2y 10 •解法二：设 A(X 1,yJ, B(X _, y _)，则2 2X _y_ 421X2)(X1 X2)尹y2)(y1 y2)2 2y 20.，两式相减得(为2 X12 y1又因为 X i X 22, y i y 2，所以 X i X 2 2(y i y ?).若 X i X 2,则 y i y ，由 X i X 2 2, y i y则点A B 都不在双曲线上，与题设矛盾，所以 X iX 2.所以k 7丄.X i X 2 2i所以直线AB 的方程为y i （X i ），即X 2y i 0 .经检验直线X 2y i 0符合题意，故所求直线为 X 2y i 0 .解法三：设 A ( X , y ），由于A 、B 关于点M （i , i ）对称， 所以B 的坐标为（2 x,2 y ）,£2y i, (2 y)2则4(2-X ) 2消去平方项，得X 2y ii.0 .④4 2即点A 的坐标满足方程④，同理点 B 的坐标也满足方程④.故直线AB 的方程为X 2y i 0 .归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以 在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在.（四）轨迹问题焦点，过R 作右准线的垂线，垂足为A ,连接F 2A 并延长交y 轴于F 2.求线段P i F 2的中点P 的 轨迹E 的方程.分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段P F 2的中点，可利2 得 X i X 2 i , y i y i .已知点R （X Q , y o ）为双曲线X 28b 2F 2为双曲线的右i （ b 为正常数）上任一点,用相关点法.解：由已知得F2（3b,0）, A（8b, y0），则直线F2A的方程为：y 3y0（x 3b）.3 b9y o，即巳（0,9y。
）.X o设P( X,y)，2y o 9y o5y oX o 即y o 2Xy代入52X o8b22y ob T1 得:竺8b2即P的轨迹E的方程为2X2b22丄125b(X R)归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法. （五）突出几何性质的考查2 2X V例8（ 2oo6江西）P是双曲线9 16 1的右支上一点,M , N分别是圆（X和（X 5）2 y2 1上的点，贝U |PM | | PN |的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点Fd 5,o）与F2（5,o）恰好是两圆的圆心，欲使|PM 最大，当且仅当|PM |最大且|PN |最小，由平面几何性质知，点M在线段PF12 25） y 4 | |PN|的值的延长线上，点N是线段PF2与圆的交点时所求的值最大2) (PF ? 1) PF 」|PF 2 3 9 •因此选 D .(1)求该双曲线的方程;MA 、MB 转化为其它线段，再利用不等式的性质求解.1 (a 0,b0)，设c y 2 b 2，由准线方程为a 1,c ・、5.从而b 2, 该双曲线的方程为 x 2例9( 2009重庆)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为x 5 ,离心率e . 5 .5 此时 | PM | | PN | (PF i(2)如图，点A 的坐标为(. 5,0) , B 是圆 x 2 (y Z5)21上的点，点M 在双曲线右(1 )由题意可知，双曲线的焦点在X 轴上，故可设双曲线的方程为解得支上，求|MA | |MB 的最小值，并求此时 M 点的坐标•分析：(1 )比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程;(2 )利用双曲线的定义将（2）设点D 的坐标为（.5,0），则点A 、D 为双曲线的焦点,则 |MA| |MD | 2a 2.因为B 是圆x （y .5） 1上的点， 其圆心为C （0,「5），半径为1, 故 |BD|》|CD| 1,10 1,从而 |MA | |MB |> 2 |BD |>、10 1 • 当M , B 在线段CD 上时取等号，此时| MA | | MB |的最小值为、10 1 •Q 直线CD 的方程为y x . 5，因点M 在双曲线右支上，故 x 0•所以M 点的坐标为（二^!辽丄1）•33归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想.所以 |MA | |MB | 2 |MB || MD |> 2 | BD | •由方程组4x 2y「5 4 234.5 4.2 3D。