第五章
正弦交流电路
本章主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

正弦信号与相量 电路的相量模型 阻抗与导纳 相量分析的一般方法 正弦稳态电路的功率 三相电路
5.1 正弦信号与相量
正弦交流电：各量（电压、电流、电动势）随时间按正弦规 律变化。 以正弦电流为例，对于给定的参考方向，正弦量的一般 解析函数式为
可见A(t)的虚部为正弦函数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为 用复数表示正弦信号找到了途径。
j (t )
j
jt
jt
u (t )
I m Ue ju . I m U 2e

2U sin(t u ) I m [ 2Ue j (tt u ) ] 2 e j t
A1 a1 jb1 r11
A2 a2 jb2 r2 2
相加、减的结果为： A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2) 复数乘除运算规律：两个复数相乘，将模相乘，辐角相加； 两个复数相除，将模相除，辐角相减。 如：
A1 A2 r1e r2e r1r2e
o o 例 已知 u1=141sin(ωt+ 60 . 。 )V ，u 2 =70.7sin(ωt-45 )V 。 求：⑴ 求相量 U1 和U 2 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t) （3） 画出相量图 解（1） 141
＝10060＝100e j 60 (50 j86.6)V 2 3 70.7 U2 50 45 50e j 45 (35.35 j 35.35)V 4 2 U 1＝
i(t)=I m sin(ωt+φ)
一、正弦量的三要素
1.振幅（最大值）
正弦量瞬时值中的最大值, 叫振幅值, 也叫峰值。 用 大写字母带下标“m”表示, 如Um、Im等。
2. 角频率ω 角频率ω表示正弦量在单位时间内变化的弧度数, 即

2 2f T
单位为rad/s或1/s
其中“T”表示正弦量变化一周所需的时间，称为周期。单位 为秒(s)。 “f”表示正弦量每秒钟变化的周数，称为频率。单位为赫兹 (Hz)。f=50 Hz，称为我国的工业频率，简称“工频”。 周期和频率互成倒数， 即 3. 初相
f

1 T
i(t)=I m sin(ωt+φ)， 正弦量解析式中的ωt+φ称为相位角。
t=0时， 相位为φ， 称其为正弦量的初相。
如下图正弦量的三要素：幅值为Um、 角频率为
u

2 T
2
f
初相为０
Um 0 (T ) 2 T
t
二、相位差 相位差指两个同频率正弦量的相位之差。 如：
u i1 u2
i
u i u i2 i
t 2 1
0
t
0
t
2
0
t
u i
1
2
(a)
(b)
(c)
(d)
解：(a)u和i同相； (b)u1超前u2； (c)i1和i2反相； (d)u和i正交。
三、正弦量的有效值 一直流电流I和一交流电流i分别通过同一电阻R, 在同一 个周期T内所产生的热量相等， 那么这个直流电流I的数 值就叫做交流电流i的有效值。
（2）
U U 1 U 2 (50 j86.6) (35.35 j 35.35) 99.5531 99.55e j 31 u (t ) 99.55 2 sin(t 31)V
A 1 r1 e j A2
j
1
jHale Waihona Puke 1j2j (1 2 )
r1r21 2
r e
2
2
r r
1 2


1


2
复数有两种表示法：实部与虚部的形式；模与辅角的形式。
欧拉公式：
e j cos j sin
e e
j 90
j j
j 90
1/j=-j
由此得出 交流电流的有效值为
2
I
RT 1 T 1 T

T
0 T
i2R dt i 2d t u 2d t
I U
0
同理， 交流电压的有效值为

T
0
正弦交流电流的有效值为
1 I T

T
0
I sin tdt
2 m 2
2 Im T

T
0
1 cos 2t dt 2
2 2 Im T T Im Im ( dt cos 2tdt) (T 0) 0 0 2T 2T 2
两个同频率的正弦量
u 1(t)=U 1m sin(ωt+ φ1) u 2(t)=U 2m sin(ωt+φ 2)
相位差
φ12 =(ωt+ φ 1 )―(ωt+ φ2 )= φ1 ― φ2
由此得： 相位差＝初相之差 同频率正弦量的几种相位关系： （１）超前关系 φ12= φ 1 -φ 2>0且|φ12|≤π弧度，称第一量超前第二量。
2. 正弦量的相量表示
A(t ) A e 设有一复数 它和一般的复数不同，它不仅是复数，而且辐角还是时间的函数，称为复 指数函数。因为
j (t )
A(t ) A e A e e Ae j (t ) A(t ) A e A cos(t ) j A sin(t )
j t

. jt I U e m m
式中 同理
.
U Ue
.
j u
或U m
.
.
2U
.
I Ie
.
.
j i
或Im
2I
.
U 和U m 把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。 特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
（２）滞后关系 φ12= φ 1 -φ 2 <0且|φ12|≤π弧度，称第一量滞后第二量，
即，称第二量超前第一量。 （３）同相关系
φ12= φ 1 -φ 2 =0,称这两个正弦量同相。 （４）反相关系 φ12= φ 1 -φ 2 ＝π, 称这两个正弦量反相。
例：判断下图正弦量的相位关系：
u i u i 0 u1
由此得出有效值和最大值关系：
Im I 0.707I m 2 Um U 0.707U m 2
例：电压有效值为２２０V，则最大值为：
Um 220 2 311 V
四、正弦量的相量表示法
1 、复数的运算规律
复数的加减运算规律。两个复数相加（或相减）时，将实 部与实部相加（或相减），虚部与虚部相加（或相减）。 如：