高中数学专题--- 隐零点及卡根思想
基本方法：
导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题. 导函数的零点，根据其数值上的差异，我们可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，我们不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，我们不妨称为“隐零点”.
（1）函数“隐零点”的存在性判断
对于函数“隐零点”的存在性判断，常采用下列两种方法求解：①若连续函数()f x 在(,)a b 上单调，且()()0f a f b ，则()f x 在(,)a b 上存在唯一零点；②借助图像分析，即将函数()f x 的零点问题转化为方程()0f x 的解的判断，并通过合理的变形将方程转化为合适的形式在处理.
（2）函数“隐零点”的虚设和代换
对于函数“隐零点”，由于无法求出其显性表达式，这给我们求解问题带来一定困难. 处理这类问题的基本方法为“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下虚设零点0x ，再借助零点的表达式
进行合理的代换进而求解.
（3）函数“隐零点”的数值估计-卡根思想
函数“隐零点”尽管无法求解，但是我们可以进行数值估计，最简单的方法即为判断其存在性的前提下利用二分法进行估计，估值范围越精确越容易解决问题. 对于“隐零点”的代数估计，可以通过单调函数构造函数不等式进行估计.
一、典型例题
1. 已知函数()22e x f x x x =+-，记0x 为函数()f x 极大值点，求证：()0124f x <<.
2. 已知函数()4ln (1)x f x x x +=
>. 若*k N ∈，且()1k f x x <+恒成立. 求k 的最大值.
二、课堂练习
1. 已知函数()2ln f x x x x x =--，证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.
2. 已知函数ln 1()x f x ax x -=
-. 若12a <<，求证：()1f x <-.
三、课后作业
1. 已知函数()ln f x x =，若关于x 的方程()()1f x m x =+，()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值.
2. 已知函数()22ln f x x =+，令()()
2xf x g x x =-在()2,+∞上的最小值为m ，求证：()67f m <<.
3. 已知函数()2e e e x x x f x x =--（e 2.718=⋯，e 为自然对数的底数），证明：()f x 存在唯一极大值点0x ，且()02ln2112e 44e f x +≤<.。