等效阻抗为一个2Ω的电阻，如图(c)所示。
画出=2rad/s时的相量模型如图(d)所示，
用阻抗串并联阻抗的公式求得等效阻抗为
(1 j2)( j1) 2 j1 1 j3 Z ( j2) (0.5 j1.5) 1 j2 j1 1 j1 2
等效阻抗为一个0.5Ω的电阻与-j1.5Ω的容 抗串联，其等效电路如图(e)所示。

5 2COS (314t 120 90 ) 5 2COS (314t 30 ) A 10060V , I 530 A U
则所求阻抗和导纳为
10060 U Z 2030 I 530 1 1 Y 0.05 30 S Z 2030
郁 金 香
第9章 正弦电流电路的分析
主要内容：阻抗和导纳，正弦稳态电 路分析，正弦电路的瞬时功率、平均功率、 无功功率、视在功率和复功率、最大功率 传输等问题。
重点：阻抗和导纳，正弦稳态电路分析。 难点：正弦稳态电路分析。
9.1
阻抗和导纳及相量模型
阻抗和导纳是正弦稳态分析中的两个重要 概念，它们可以用来表示RLC元件以及由这些 元件组成的单口网络的特性。现在将这两个概 念推广到一般单口网络的相量模型，正式给出 它们的定义。
根据时域模型中RLC元件的参数，用相 应的阻抗(或导纳)表示，并标明在电路图上。
(2)
时域形式 电阻 电感 电容 R L C
相量形式 R 或 j L 或 1 j C G 1 j L
或 j C
2, 根据KCL、KVL和元件VCR相量形 式，建立复系数电路方程或写出相应公式， 并求解得到电压电流的相量表达式。
1 2 3 n
Z Z1 Z 2 Z3 Z n
结论：n个阻抗串联组成的单口网络，
就端口特性来说，等效于一个阻抗，其等 效阻抗值等于各串联阻抗之和，即 n U Z Z1 Z 2 Z 3 Z n Z k I k 1
n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的 U U 关系为 I
k 1
求得第k个导纳中的电流相量与端口电流相量 的关系为
I k YkU Yk Yk I I n Y1 Y2 Yn Yk
k 1
(9 16)
这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。 常用的两个阻抗并联时的分流公式为
I1 Z2 I Z1 Z 2 I2 Z1 I Z1 Z 2 (9 16)
BC C
例9－1 不含独立源二端网络NO如图9－1 所示，已知其端口电压和端口电流分别为
u 100 2 cos(314t 60 )V , i 5 2 sin( 314t 120 ) A

求该二端网络的阻抗和导纳。
图9－1
解：将电流和电压用相量表示：
i 5 2 sin( 314t 120 )
I YU
(9 3)
从以上几个公式中可以得到以下关系
U ZI RI jXI I YU GU jBU 1 Z Y
此式表明： 单口网络的相量模型的端口特性而言， 用一个电阻和电抗元件的串联电路来等效。 用一个电导和电纳元件的并联电路来等效。
由此可以得到图(a)所示的串联等效电路。
从以上计算中也可以看出，电阻R与电导 G以及电抗jX与电纳jB不是倒数关系,即
1 1 R1 2 G 0.5
1 1 jX j1 j2 jB j0.5
书面作业 9－1 9－4 9－5 9－12 9－13
郁 金 香
9.2 正弦电流电路的相量分析法
R G 2 R X2 X B 2 R X2
已知单口网络的阻抗和串联等效电路，求其 导纳和并联等效电路。根据阻抗和导纳的倒数 关系得到 Y G jB 1 1 1 R jX
Z R jX R jX R jX R jX 2 2 2 R X R X2
9.2.1 相量法分析法的一般步骤 1, 画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方 法是 (1) 将时域模型中各正弦电压电流，用相 应的相量表示，并标明在电路图上。 对于已知的正弦电压和电流，计算出相应 的电压电流相量。
计算相应的电压电流相量。
时域形式 相量形式 正弦 u (t ) U 2 cos(t ψ u ) U Ue jψ u Uψ u 电压 正弦 电流 i (t ) U 2 cos(t ψi ) I Ie jψi Iψi
I I1 I 2 I n Y1U Y2U YnU (Y Y Y )U YU
1 2 n
计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络， 等效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导 n I 纳之和，即 Y Y1 Y2 Yn Yk U k 1 得到n个导纳并联的电压相量与其端口电流相 量的关系为 I I U n Y1 Y2 Yn Yk
9.2.2 阻抗串、并联电路分析
1. 阻抗串联 图(a)表示n个阻抗的串联，流过每个阻抗 的电流相同，根据相量形式的基尔霍夫电压定 律和欧姆定律得到以下关系
U U1 U 2 U 3 U n Z1 I Z 2 I Z 3 I Z n I ( Z Z Z Z ) I ZI
补充例题： 单口网络如图所示，已知 =100rad/s。试计算该单口网络相量模型等 效阻抗和相应的等效电路。
解：相量模型如图(b)所示。在端口外加电 流源，如图（C）所示
用相量形式KVL方程计算端口电压相量 U j2 I 1I j8( I 0.5U1 )
基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律 欧姆定律
Ik 0
k 1 n
n
Uk 0
k 1
U ZI
I YU
3, 根据所计算得到的电压相量和电流相 量，写出相应的瞬时值表达式。
相量形式 域形式
正弦 U Ue jψ u Uψ u ω u (t ) U 2 cos( t ψ u ) 电压 正弦 I Ie jψi Iψi 电流 ω i (t ) U 2 cos( t ψi )
1，阻抗和导纳
假设端口电压与电流相量采用关联的参考 方向，其电压相量与电流相量之比为一个常量， 这个常量称为阻抗，即
U U Z (u i ) | Z | Z R jX I I (9 4)
阻抗是一个复数，单位为欧姆（Ω） 实部R称为电阻分量，虚部X称为电抗分量， 阻抗的幅角 Z u i 称为阻抗角，它表示 端口正弦电压u(t)与正弦电流i(t)的相位差。上 式可以改写以下形式
解：并联等效电路的电导G与电纳jB如下： R 1 G 2 S 0.5S 2 R X 11 X 1 B 2 S 0.5S 2 R X 11 由此可以得到图(b) 所示的并联等效电路。
串联等效电路的电阻R与电抗jX如下：
G 0.5 R 2 2 1 2 2 G B 0.5 (0.5) B 0.5 X 2 2 1 2 2 G B 0.5 (0.5)
由此得到由阻抗变换为导纳的公式
R G 2 R X2 X B 2 R X2 (9 5)
G R 2 G B2 B X 2 G B2
已知单口网络的导纳和并联等效电路， 求其阻抗和串联等效电路。
1 1 G jB Z R jX 2 2 2 Y G jB G B G B 2
电阻元件： 电感元件： 电容元件：
ZR R
1 YR R 1 YL j jBL L YC jC jBC
Z L jL jX L 1 ZC jX C jC
式中：
X L L 1 BL L 叫感抗 叫感纳 XC 1 C 叫容抗 叫容纳 X L , X C 统称为电抗。 BL , BC 统称为电纳。
Z1 Z 2 Z 3 Z n
Z
k 1
n
k
第k个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系 Zk 为 Z I Zk U U U
k k
Z1 Z 2 Z 3 Z n
Z
k 1
n
k
U k Z k I
Zk Zk U U n Z1 Z 2 Z 3 Z n Zk
例9-2 单口网络如图(a)所示，试计算该 单口网络在=1rad/s和=2rad/s时的等效 阻抗 和相应的等效电路。
替代149页的例9－2，原例9－2请同学们自学。
解：画出图(a)电路在 =1rad/s时的相量模型 如图(b)所示，用阻抗串并联阻抗的公式求得单 口等效阻抗为
(1 j1)( j2) 2 j2 Z ( j1) 2 1 j1 j2 1 j
j2 I 1I j8 I j8 0.5 ( j2 I ) (9 j6) I
求得等效阻抗为
U Z (9 j6) I
等效电路为一个电阻和电感的串联电路。 6 6 L 6 L 60mH 100
2, 阻抗和导纳的等效变换 无源单口网络相量模型有两种等效电路， 如图所示。这两种等效电路之间也可以进行等 效变换。
以上几个公式与n个电导并联时得到的公式相类似。
例9－4 正弦电流电路如图所示，已知 us 10 2 cos1000tV ，求电压 u L 及电流 iR 和 iC 。
解：图(a)电路的相量模型如图(b)所示。
Z RC
R j R 1000 C (500 j 500) 1 1 jRC 1 j R j c