积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条
件确定。 位移边界条件
~
A
wA A
－弹簧变形
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
光滑连续条件
x a wBL wBR
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
3）列挠曲线近似微分方程并积分
d 2w
EI M (x) F(x l)
积分一次
dx2 EI
dw
EIq
1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次 EIw 1 F (x l)3 Cx D
6
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
y
例1
x 0, q A 0
M (x) > 0
w M x
EI
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
O
d2y
dx 2 < 0
x
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的 二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
②挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正
③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数— w=f(x)
④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系— q tgq dw f '(x)
dx 3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
( x) EIz
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材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还
有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h
的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而
x 0, yA 0
Ax
yB
代入求解 C 1 Fl2, D 1 Fl3
l
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
EIq 1 F (x l)2 1 Fl2
EIw
12F ( x
l)3
1
2 Fl
2
x
1
Fl3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
q max
qB
Fl 2 ,
2EI
wmax
wB
Fl3 3EI
A
qA
2）弯矩方程
FAy x1
DC
ymax
AC 段：
x2
M
x1
FAy x1
Fb l
x1,0
x1
a
a
b
CB 段：
B qB x
FBy
M x2
FAy x2
F (x2
a)
Fb l
x2
F (x2
a),
a x2 l
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材料力学
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
F Bx
qB
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
B
x
x
l y
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例2
解：
M(x) ql x q x2 22
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁 的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条 件、连续条件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； ⑤缺点：计算较繁。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
w M x
EI
EIw M x
EIw ql x q x2 22
A
x
y
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
q
B
x
l
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材料力学
例2由边界条件：
x 0时，w 0; x l时，w 0
q
得： C ql3 ,D 0 24
A
梁的转角方程和挠曲线
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
• 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
• 顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
y
A
q
x
F
q w
B
x
2.梁位移的度量：
B1
①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正
最大挠度，梁的EI已知。
y
F
A
x
yB
l
B
x
qB
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例1
y
F
解 1）由梁的整体平衡分析可得： A FAx 0, FAy F(), M A Fl( ) x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
qB
M (x) F(l x) F(x l)
EIw M xd x C q tanq w/ 转角方程
EIw M xd x d x Cx D
挠曲线方程
以上两式中的积分常数C1，D由边界条件确定后
即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。
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材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条
光滑连续条件
qA
FAy x1
ymax
x2
x1 x2 a, q1(a) q2 (a) a
b
x1 x2 a, y1(a) y2 (a)
代入求解，得
B qB x
FBy
C1
C2
1 6
Fbl
Fb3 6l
D1 D2 0
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材料力学
5）确定转角方程和挠度方程
例3 AC 段： 0 x1 a
Fb 6l
(l 2
b2 )x2
B qB x
FBy
2020年4月25日星期六
材料力学
6）确定最大转角和最大挠度
例3
令 dq 0 得，
dx
l a x
l ,q max
qB
Fab 6EIl
(
)( )
令 dy 0 得， dx
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
思考1
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问
x θA
θB
B
x
方程分别为：
y
l
q q (6lx2 4x3 l3) w qx (2lx2 x3 l3)
24EI
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
qmax
qA
q B
ql3 24 EI
wm a x
w
x l 2
5ql 4 384EI
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
位移边界条件
当梁受到指向相同的
荷载作用时，简支梁最大
转角q发生在左支座或右
支座截面处。
简支梁最大挠度w发生在w/=0处 在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有
拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-3 用积分法求弯曲变形
例3 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和
最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
F
A
qA
DC
FAy x1
x2
a
ymax
b
B qB x
FBy
2020年弯曲变形
例3
y
解 1）由梁整体平衡分析得：
F
Fb
Fa
FAx 0, FAy l , FBy l
由上式进行积分，再利用边界条件（boundary condition）和连续条件(continuity condition) 确 定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。
2020年4月25日星期六
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
5.讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的 平面弯曲。
x轴之间的夹角，从而有转角方程：
q tanq w f x
材料力学 §6-2 挠曲线的微分方程
•(a)
•(b)
• 直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯 曲变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条 件有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸 相同，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程 度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的 挠度和转角则明显不同。