第六章 第二节1．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400D ．20解析：选C S 20－2S 10＝20a 1＋a 202－2×10a 1＋a 102＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d . ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.故选C.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3解析：选C 因为S n ＝n a 1＋a n2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 22＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.故选C.3．(2014·临川一中质检)已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于( )A ．55B ．70C ．85D ．100解析：选C 由题知a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9，a b 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9＝4＋5＋6＋…＋13＝85，选C.4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{a n }通项为a n ＝an ，则“数列{a n }为递增数列”的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥0B ．a ＞1C ．a ＞0D ．a ＜0解析：选B 数列{a n }为递增数列，则a ＞0，反之a ＞0，则数列{a n }为递增数列，a ＞0是数列{a n }为递增数列的充要条件，“数列{a n }为递增数列的一个充分不必要条件是a 的范围比a ＞0小，即包含于a ＞0中，故选B.5．(2012·浙江高考)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析：选C 设数列{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，但d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．6．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为( )A.1941B.45 C.2743D.2431解析：选A ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝112a 1＋a 11112b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941.故选A. 7．(2011·广东高考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：10 由题意S 9＝S 4得a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0.∴5a 7＝0，即a 7＝0.又a k ＋a 4＝0＝2a 7，a 10＋a 4＝2a 7，∴k ＝10.8．(2014·阜宁中学调研)在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和S 5＝________.解析：90 在等差数列{a n }中，由a 2＝6，a 5＝15易知公差d ＝15－63＝3，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n ，∴b n ＝a 2n ＝6n ， 所以数列{b n }为公差为6的等差数列， 所以前5项和S 5＝52(b 1＋b 5)，又易知b 1＝6，b 5＝30，所以S 5＝90.9．(2014·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的差数列．若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：2n ＋1－2 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2,0＝22，…，a n －a n －1＝2n－1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n ，从而S n ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.10．(2014·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为________．解析：25 因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20a 1＋a 202＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.所以a 7·a 14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14＝5时等号成立．11．(2013·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25 ，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解：(1)设{a n }的公差为d . 由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝－2或d ＝0(舍去)． 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，所以数列{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .12．(2014·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n 的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则⎩⎨⎧ 6a 1＋15d ＝60，a 1a 1＋20d ＝a 1＋5d2，解得⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝5. ∴a n ＝2n ＋3.(2)由b n ＋1－b n ＝a n ，得b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)， ∴b n ＝n (n ＋2)，n ∈N *.∴1b n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n4n ＋1n ＋2.13．(2014·济宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n ·a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝log 2 n a n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2c n c n ＋2的前n 项和为T n ，求满足T n <2521(n ∈N *)的n 的最大值．(1)证明：在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，得a 1＝12.当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2，∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴2n ·a n ＝2n －1·a n －1＋1. ∵b n ＝2n ·a n ，∴b n ＝b n －1＋1.又b 1＝2a 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ，∴a n ＝n2n .(2)解∵c n ＝log 2na n＝log 22n ＝n .∴2c n c n ＋2＝2n n ＋2＝1n －1n ＋2.∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝1＋12－1n ＋1－1n ＋2.由T n ＜2521，得1＋12－1n ＋1－1n ＋2<2521，即1n ＋1＋1n ＋2>1342，f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2单调递减， ∵f (3)＝920，f (4)＝1130，f (5)＝1342，∴n 的最大值为4.1.(2014·石家庄模拟)已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)，则关于数列{b n }的判断正确的是( )A ．数列{b n }一定是等差数列B ．数列{b n }一定是等比数列C ．数列{b n }可以是等差数列，也可以是等比数列D ．数列{b n }既不是等差数列，也不是等比数列解析：选A 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，所以当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1，又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列，选A. 2．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1解析：选A 方法一：由已知S 21＝S 4 000，则a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0，设数列{a n }的公差为d ，则3 979a 22＋a4 0002＝0，又a 22＋a 4 000＝2a 2 011，所以a 2 011＝0，∴OP →·OQ →＝2 011＋a n ·a 2011＝2 011方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4 000，且等差数列前n 项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S 1＝S 4 020，则有a 1＝4 020a 1＋4 020×4 0192d ，整理得a 2 011＝0，所以OP →·OQ →＝2 011＋a n ·a 2 011＝2 011.3．(2014·孝感高中调研)已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可以为正数也可以为负数解析：选A 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (－0)＝－f (0)得f (0)＝0，又f (x )是R 上的单调递增函数，所以当x ＞0时有f (x )＞f (0)＝0，当x ＜0时有f (x )＜f (0)＝0，因为a 3＞0，所以有f (a 3)＞0.因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 52＝a 3＞0从而a 1＋a 5＞0，所以a 1＞－a 5，所以f (a 1)＞f (－a 5)．又f (－a 5)＝－f (a 5)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，从而有f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＝[f (a 1)＋f (a 5)]＋f (a 3)＞0.故选A.4．(2014·西北工大附中月考)若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)满足a 1＝a n ，a 2＝a n －1，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．已知数列{b n }是项数为7的“对称数列”，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，则数列{b n }的项为________．解析：2,5,8,11,8,5,2 设数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，所以数列{b n }的项为2,5,8,11,8,5,2.5．(2014·湛江检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 有a 2a n ＝S 2＋S n .(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫log 88a 1a n 的前n 项和为T n ，求T n 的最大值． 解：(1)取n ＝1，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，a 22＝2a 1＋2a 2，②②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2，a 2>0，∴a 2－a 1＝1，③ 由①③组成方程组解得，a 1＝1＋2或a 1＝1－ 2. ∵a n >0，∴a 1＝1－2不合题意，舍去．∴a 1＝1＋ 2. (2)由(1)可得a 2＝2＋2，当n ≥2时，(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，两式相减，得(2＋2)a n －(2＋2)a n －1＝a n ， ∴(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)． ∴数列{a n }是以a 1＝1＋2为首项，公比q ＝2的等比数列．∴a n ＝(1＋2)(2)n －1.(3)设b n ＝log 8 8a 1a n＝1－log 8(2)n －1＝1－(n －1)log 8 2＝1－16(n －1)．∴数列{b n }为单调递减的等差数列，公差为－16.由b n ＝1－16(n －1)≥0，解得n ≤7，∴b 1＞b 2>…>b 6>b 7＝0,0>b 8>b 9>…，∴当n ＝6或n ＝7时，T n 有最大值．且最大值为T 6＝T 7＝7b 1＋b 72＝72.。