专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性．(2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R上的函数()f x满足()()[)20,0,2f x f x x++=∈时，()31xf x=-，则()2015f的值为（）A.-2B.0C.2D.8【答案】A试题分析：由已知可得⇒=+-=+)()2()4(xfxfxf()f x的周期⇒=4T()2015f==)3(f2)1(-=-f，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R上的偶函数()y f x=满足(2)()f x f x+=-，且在[2,0]x∈-上为增函数，3()2a f=，7()2b f=，12(log8)c f=，则下列不等式成立的是（）A．a b c>> B．b c a>> C．b a c>> D．c a b>>【答案】B试题分析：因为定义在R上的偶函数()y f x=在[2,0]x∈-上为增函数，所以在[0,2]x∈上单调递减，又(4)()f x f x+=，所以()()1271(),(log8)3122b f fc f f f⎛⎫====-=⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a>>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类函数)(xf满足()()f x a f b x+=-时，函数()y f x=的图像关于直线2a bx+=对称；第二类函数)(xf满足()()cf x a f b x++-=时，函数()y f x=的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类函数()y f x a=+的图像与函数()y f b x=-的图像关于直线2b ax-=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R上的函数()f x满足()()f x f x-=-，(3)()f x f x-=，则(2019)f=（ ) A．3- B．0 C．1 D．3【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f-+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f-和(1)f，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考卷】设()f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a xf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R 若59()()22f f-=，则(5)f a的值是 .【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a-=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.【反馈练习】1. 【2016届一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x=定义在实数集R上，则函数()y f a x=-与()y f x a=-的图象（）A．关于直线0y=对称 B．关于直线0x=对称C．关于直线y a=对称 D．关于直线x a=对称【答案】D2．【 2017届夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x是定义在R的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A. 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f << 【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-. 考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4] 【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数围.6. 【2017届武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称； ③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析：①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛43-，成中心对称，所以()x fxf-=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x+=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛--xfxf2323，即()()x fxf=-，又根据3()()2f x f x+=-，可得函数的周期3=T,又有()()x fxf=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛+232323xfxfxf，所以函数关于直线23-=x对称；③正确，因为()()3242=+-++xx，所以函数()x f关于点()0,3对称，而函数()3+=xfy是函数()x fy=向左平移3个单位得到，所以函数()3+=xfy是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12】函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2)0(142)(x2xxxxxf的图像上关于原点对称的点有（）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个【答案】B试题分析：作出函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(e2)0(142)(x2xxxxxf的图象如图所示，再作出2241y x x=++关于原点对称的图象，记为曲线C.容易发现与曲线C有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。