8.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1 ，线段 AC1 上有两个动点 E、F ，且
EF
3 3
，给出下列四个结论错．误．的选项是（
）
A ． CE BD
B ．点 C 到平面 BEF 的距离为 2 2
C ． BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形 D ．在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA1 平行的直线
则 d =d1 d2 ，如图是根据美国公路局公布的实验
数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内
圈数值表示对应的车速 v （ km / h ）.根据该图数
据，建立停车距离与汽车速度的函数模型. 可选
择模型①：d =av b. 模型②：d =av2 bv. 模型
③：d =av b . 模型④：d =av2 b .（其中 a,b
，n则
(
1 )
3 i)5 （
）
22
A. ． 1 3 i 22
B．1 3i C．1+ 3i
22
22
D．1 3i 22
2
7.若实数数列：1， a ，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2 y2 1 的离心率是（ ） a
A ． 10 或 2 2 3
B． 3或 6 3
C．2 3 3
D ． 1 或 10 3
A ．0.8
B ．0.75
C ．0.6
D ．0.48
)=
x + sin(x) x2 + cos(x)
5. 函数 f(x) =
fx (
x2
x x)sin(xx)2
+ cos(x)
sin x cfo(sxx)
的= 大(x致x2 图+ c象soisn是((xx（)))
y
y
1
1
-π O π
x
-1
-π O π x -1
an1 an 2n 2 ，则 a1 a2 L a2020 （ ） A．1010 2021 B．1010 2020 C．1009 2021 D．1009 2020 12.不等式 x3ex a ln x x 1对任意 x (1, ) 恒成立，则实数 a 的取值范围（ ）
A． (,1 e]
则由此判断进入夏季的地区有______.
16.我 国 古 代 《 九 章 算 术 》 中 将 上 ， 下 两 面 为 平 行 矩 形 的 六 面 体 称 为 刍 童 . 如 图 的 刍 童
ABCD EFGH 有 外 接 球 ， 且 AB 2 6, AD 2 2, EH 15, EF 5 ，
平面EFGH 平面 ABCD 的距离为 1 则,该刍童外接球的
）
f(x)
=
(x sin(x))2 x2 + cos(x)
y
1
-π O π
x
-1
y 1
-π O π
x
-1
A
B
C
D
uuur
uuur
6.在复平面内，复数 z a bi(a R,b R) 对应向量 OZ（ O 为坐标原点），设| OZ | r ，
以射线 OX 为始边， OZ 为终边旋转的角为 ，则 z r(cos i sin ) ，法国数学家棣莫
图象的所有交点中，相邻两个交点之间距离的最小值为
6
，则下列说法错．误．的是（
）
A． f x 的最大值为 2
B． 2
C． f x 图象的对称轴方程为 x k , k Z
26
3
D．
f
x
的一个增区间为
5 12
, 12
11.若 x 表示不超过 x 的最大整数（例如：0.1 0,0.1 1），数列an 满足：a1 3，
①
第 8 页 共 16 页
所以 2Sn1 3an1 （1 n 2），
②
①－②得， 2(Sn
Sn1)
3(an
an1) ，化简为 an
3an（1 n
2），即
an an1
3(n
2),
在①中，令 n 1, 可得， a1 1，所以数列{an}是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，
从而有 an 3n1(n N*) ．

BCD CDE BAE 2 ， DE 4km ， 3
BC CD 3km .
B
A
（1）求服务通道 BE 的长度；
（2）当 AEB 时，赛道 BA 的长度. 4
C
E
D
18. (12 分)设已知数列{an}的前 n 项和 Sn ， 2Sn 3an 1 . （1）求 an ； （2）若 bn (n 1)an ，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn ，求 Tn .
B． (, 2 e2 ]
C． (, 2]
D． (, 3]
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
uuur uuur 13. 如图所示， A 、 B 是圆 O 上的两点，若 AB AO 2 ，则弦 AB 长
为______.
14. 若 x 0 ， y 0 ， xy x y 3 ，则 x y 的取值范围是______. A
（2）若实数 x, y, z 满足 x2 y2 z2 t ，证明： x y 2 2 .
7
2020～2021 学年第一学期
交大附中、龙岗中学第一次联考数学试题（理）
一、选择题
题号 1
2
3
答案 C
D
B
二、填空题
13. 2
14.x x 6
4
5
6
7
8
9
10 11 12
B
B
A
A
C
A
C
A
D
15. 甲地、丙地（全对 5 分，漏选 2 分.）
16. 36
三、解答题 【17 题】
解：（1）连接 BD ，在 BCD 中，由余弦定理得： BD2 BC2 CD2 2BC CD cos BCD 9 ，
BD 3. Q BC CD ， CBD CDB ， 6
又 CDE 2 ，BDE ，
3
2
在 RtBDE 中， BE BD2 DE2 5 .………………………………………… 6 分
坐标系.
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
（2）直线
l1
的极坐标方程是
2
sin(
3
)
3
3
0
，直线 l2
:
3
(
R)
与曲线 C
的
6
交点为 P ，与直线 l1 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长.
23.（10 分）[选修 4—5：不等式选讲] 已知函数 f x x 1 2x 6 . （1）求函数 f x 的最小值 t ；
B C
A D
(二)选考题：共 10 分，请考生在第 22,23 题中任选一题作答.
22. (10 分)[选修 4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为：
x 1
3 cos .（ 是参数， 0 ）.以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极
y 3 sin
（2）设点椭圆上点 P 坐标为 (x0 , y0 )，切点坐标为 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
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Q 直线 AP, BP 为圆 O 的两切线，圆 O 方程为： x2 y2 1 . uuur uuur
OA AP 0 ，
Q AP (x0 x1, y0 y1),OA (x1, y1) ， uuur uuur
C ． A=B
2. 下列说法正确的是（ ）
A ．若“ p 且 q ”为真命题，则 p, q 中至少有一个为真命题
D． AI B
B ．命题“ x0 R, x02 x0 1 0 ”的否定是“ x R, x2 x 1 0 ”
C ．命题“若 sin x sin y ，则 x y ”的逆否命题为真命题
3 3n (n 1) 3n (3 2n) 3n 3 .
1 3
2
所以， Tn
(2n
3) 3n 4
3.
………………………………………… 12 分
【19 题】
解：（1）依题意， 2a 4, 得 a 2,
Q e c 3 ，c 3,b 1. a2
椭圆方程为 x2 y2 1 ………………………………………… 5 分 4
v
v
为待定参数）进行拟合，则拟合效果最好的函数
1
模型是（ ）
A. d =av b.
B. d =av2 bv.
C. d =av b . v
D. d =av2 b . v
4. 甲、乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率 0.6,乙命中目标概率 0.5，假 设甲、乙两人射击命中率互不影响.射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标 概率为（ ）
（1）证明： C1C BD ；
（2）假设 CD
2, C1C
3 2
,
记面
C1
BD
为
，面 CBD
为
，求二面角
BD
的平
面角的余弦值；
（3）当
CD CC1
的值为多少时，能使
A1C
平面 C1BD
？请给出证明.
B1 C1
A1 D1
21. (12 分)已知函数 f (x) x . ln x
（1）讨论函数 f (x) 的单调性； （2）若 f (x1) f (x2 ) e2, 其中 x1, x2 [e, )，求证： x1 x2 2e2.
（2）在 BAE 中， BAE 2 ， BE 5 . AEB
3
4
BE 由正弦定理得 sin 2