2021届上海市上海交通大学附属中学高三上学期开学摸底数学试题一、单选题1．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．2．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ） A ．64π B ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3．若点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图像上，1()y f x -=为函数()y f x =的反函数，设100(,)P y x 、200(,)P y x -、300(,)P y x -、400(,)P y x --，则有（ ） A ．点1234,,,P P P P 有可能都在函数1()y f x -=的图像上B ．只有点2P 不可能在函数1()y f x -=的图像上C ．只有点3P 不可能在函数1()y fx -=的图像上D ．点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图像上 【答案】D【解析】根据反函数存在的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判断点1234,,,P P P P 是否在函数1()y f x -=图像上.【详解】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的,根据点00(,)P x y 00(0)x y ≠在函数()y f x =的图象上， 则100(,)P y x 在反函数1()y fx -=的图象若点100(,)P y x 与点300(,)P y x -都在反函数1()y fx -=的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点200(,)P y x -在反函数图象上则点00(,)x y -在函数()y f x =的图象上， 则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应； 故点23,P P 都不可能在函数1()y f x -=的图象上故选：D ． 【点睛】本题考查反函数存在的条件和函数的性质，同时考查分析问题的能力，属于基础题. 4．设集合S ，T ，S ⊆N ，T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题5．已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.【答案】{}0,2【解析】根据集合的交集即可计算. 【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B = ∴{}0,2AB =故答案为：{}0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．6．已知i 是虚数单位，则复数()()12z i i =+-的虚部是________ 【答案】1【解析】利用复数的乘法运算，化简复数3i z =+,即可得答案； 【详解】2213z i i i =-++=+，∴复数z 的虚部是1，故答案为：1. 【点睛】本题考查复数虚部的概念，属于基础题.7．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【解析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．8．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19【解析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可． 【详解】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．25()()x x y xy ++的展开式中33x y 的系数为________【答案】15【解析】先把条件整理转化为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数，再结合二项式的展开式的特点即可求解． 【详解】解：因为22255()()()()y x y x y x x y x x++++=； 要求展开式中33x y 的系数即为求225()()x y x y ++展开式中43x y 的系数；展开式含43x y 的项为：2223244435515x C x y y C x y x y +=；故25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为15；故答案为：15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．10．如果方程2lg (lg 6)lg lg 2lg 30x x ++⋅=的两个根为1x 、2x ，那么12x x ⋅的值为________ 【答案】16【解析】先对方程进行因式分解变形得(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=，求出12,x x 的值，即可得答案； 【详解】(lg lg 2)(lg lg3)0x x ++=， ∴lg lg 2x =-或lg lg3x =-，∴121123x x ==，，∴1216x x =，故答案为：16.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，属于基础题.11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4【解析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---，依题意nn n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.12．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半径为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯ 圆柱体积为21()222ππ⋅=所求几何体体积为1232π故答案为： 1232π【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.13．将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知22451x y y +=（,x y R ∈），则22xy +的最小值是________【答案】45【解析】由已知求得2x ，代入所求式子，整理后，运用基本不等式可得所求最小值； 【详解】解：由22451x y y +=，可得42215y x y -=，由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y-++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22xy +的最小值为45； 故答案为：45. 【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查转化思想和化简运算能力，属于中档题. 15．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=>，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-. ∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，,A B 是221:()362C x y +-=上的两个不同的动点，满足PA PB =，且PA PB a ⋅<恒成立，则实数a 最小值是________ 【答案】49【解析】因为PA PB =，可知PC 是AB 的垂直平分线，1PC =，设CE x =，PA 、PB 、AB 的长即可用x 表示，再利用余弦定理表示cos APB ∠，利用数量积的定义将PA PB ⋅用x 表示，()maxa PA PB>⋅，利用函数求出()max6PA PB⋅<，即得a 最小值.【详解】如图圆心10,2C ⎛⎫⎪⎝⎭，1PC =，因为PA PB =，所以PC 是AB 的垂直平分线，设PC 与AB 相交于点E ，则点E 是AB 的中点， 设CE x =，则2236AE x =-，()22436AB x=-，()2222221237AP BP AE EP AE x x ==+=++=+PA PB a ⋅<恒成立，所以()maxa PA PB>⋅cos PA PB PA PB APB ⋅=∠，在APB △中，由余弦定理得：222222cos 22AP BP AB AP AB APB AP BP AP BP +--∠==⨯⨯， 所以222222cos 22AP AB AP AB PA PB PA PB APB PA PB AP BP --⋅=∠=⨯=⨯， ()()22222323743652x x x x +--==+-，因为06x <<，所以6x =时，22235236123549x x +-<⨯+-=， 即()max49PA PB⋅<所以6a ≥，故实数a 最小值是49，故答案为：49【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的定义，余弦定理，勾股定理，恒成立问题，求二次函数的最值，属于综合性题目，属于中档题.三、解答题17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．【答案】（115（2239【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连,CO BC CD BO OD CO BD ==∴⊥以,,OB OC OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0)(0,1,1)A B C D E -∴15(1,0,2),(1,1,1)cos ,1553AB DE AB DE ∴=-=∴<>==- 从而直线AB 与DE 所成角的余弦值为1515（2）设平面DEC 一个法向量为1(,,),n x y z =11200(1,2,0),00x y n DC DC x y z n DE ⎧+=⋅=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎪⎩⎩令112,1(2,1,1)y x z n =∴=-=∴=- 设平面DEF 一个法向量为2111(,,),n x y z =11221117100171(,,0),4244200x y n DF DF DB BF DB BC n DE x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪=+=+=∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪++=⎩令111272,5(2,7,5)y x z n =-∴==∴=-12cos ,67813n n ∴<>== 因此12239sin 13θ== 【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）32⎤⎥⎝⎦【解析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小；（II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos sin 222A A A =-++11cos 222A A =++ 1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．已知函数()|31|2|1|f x x x=+--.（1）画出()y f x=的图像；（2）求不等式()(1)f x f x>+的解集；（3）若不等式22()3f x t at≥-+-，对于任意的x∈R，任意的[1,1]a∈-恒成立，求实数t的取值范围.【答案】（1）图像见解析；（2）7(,)6-∞-；（3）2t≤-或2t≥.【解析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值符号化函数为函数形式，然后可分段作出函数图象；（2）把函数()y f x=的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x=+的图像，由图象可得不等式的解；（3）首先由()f x图象得()f x的最小值83-，然后问题转化为282,33t at-≥-+-对任意[]1,1a∈-恒成立，引入函数()g a=223t at-+-，这是关于a的一次函数，由一次函数性质易得结论．【详解】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x xf x x xx x⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩()y f x=的图像如图所示.（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像，()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--，由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， ∴不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．（3）由函数图像性质可知，当13x =-时，()f x 取得最小值83-， 则原问题转化为282,33t at -≥-+- 对任意[]1,1a ∈-恒成立，即220t at --≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，记函数()22g a ta t =-+-，要使()0g a ≥对任意[]1,1a ∈-恒成立，只需()()1010g g ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，即222020t t t a ⎧--≥⎨+-≥⎩，解得：2,t ≤-或2t ≥.【点睛】本题考查作含绝对值函数图象，用图象解不等式，考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的关键是转化，一是转化为求出函数的最小值，二是转化为与一次函数有关的不等关系．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为12,S S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4- ；（3）M 点坐标为(2,0)或212(,)77-- .【解析】（1）由椭圆标准方程可知a ，b ，c 的值，根据椭圆的定义可得12AF F △的周长22a c =+，代入计算即可．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，进而由点斜式写出直线AP 方程，再结合椭圆的右准线为：4x =，得点Q 为34(4,)21tt--，再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算OAB ∆与MAB ∆的面积时，AB 可以最为同底，所以若213S S =，则O 到直线AB 距离1d 与M 到直线AB 距离2d ，之间的关系为213d d =，根据点到直线距离公式可得135d =，295d =，所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，根据两平行直线距离公式可得，6m =-或12，然后在分两种情况算出M 点的坐标即可． 【详解】（1）由椭圆的标准方程可知，24a =，23b =，2221c a b =-=， 所以△12AF F 的周长226a c =+=．（2）由椭圆方程得3(1,)2A ，设(,0)P t ，则直线AP 方程为32()1y x t t=--，椭圆的右准线为：24a x c==，所以直线AP 与右准线的交点为34(4,)21tQ t--，(OP QP t =，0)(4t -，22340)4(2)4421tt t t t--=-=----，当2t =时，()4min OP QP =-．（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111||||22AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯，即213d d =， 3(1,)2A ，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为3(1)4y x =+，即3430x y -+=，所以135d =，295d =，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，95=，即6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，即3(2)4y x =-， 联立223(2)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得(2)(72)0x x -+=，即20M N x y =⎧⎨=⎩或27127M Mx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以(2,0)M 或2(7-，12)7-．当12m =时，直线l 为34120x y -+=，即3(4)4y x =+， 联立223(4)4143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得221182404x x ++=，△9(3656)0=⨯-<，所以无解， 综上所述，M 点坐标为(2,0)或2(7-，12)7-．【点睛】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，直线与椭圆相交问题，解题过程中注意转化思想的应用，属于中档题．21．已知数列{}n a （*n ∈N ）的首项11a =，前n 项和为n S ，设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“~k λ”数列.（1）若等差数列{}n a 是“~1λ”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a 是”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“~3λ”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）1λ=；（2）()()211342n n n a n -⎧=⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（3）存在，01λ<<. 【解析】（1）根据新定义，即由11n n n S S a λ++-=，求λ，此式变形为1(1)0n a λ+-=，分析后可得．（2=11n n n a S S ++=-转化为{}n S 的递推关系，令n b =，得{}n b 的递推关系，求得n b ，从而可得n S ，n a ．（3）类似（2）的转化，令n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（），分析此式中n c 的解的情况，注意到321(1)(1)n n n n c c c c -=-++，210n n c c ++>，在0λ≤或1λ=时，（）只有一解1n c =，对应{}n a 只有一个， 在1λ>时，同样得出{}n a 只有一个，在01λ<<时，（）有三个解，一个在(0,1)上，一个是1，一个在(1,)+∞上，即有两个不小于1的解，设在(1,)+∞上的解为t ，则1n n S S +=或31n n S t S +=，这样对数列{}n S ，由其中任一项n S 求其后一项1n S +时都有两种个解，这样所得数列{}n S 会有无数个，从而得{}n a 有无数个．由此可得结论． 【详解】（1）∵等差数列{}n a 是“λ～1”数列，则11n n n S S a λ++-=，即11n n a a λ++=， 也即1(1)0n a λ+-=，此式对一切正整数n 均成立，若1λ≠，则10n a +=恒成立，∴320a a -=，而211a a -=-，这与{}n a 是等差数列矛盾，∴1λ=．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列） （2）∵数列*{}()n a n ∈N 是”数列，∵0n a >，∴10n n S S +>>1=，n b =，则1n b -=221(1)(1)(1)3n n n b b b -=->， 解得：2n b =2=，也即14n nS S +=，∴数列{}n S 是公比为4的等比数列， ∵111S a ==，∴14n n S -=．2n ≥时，12214434n n n n n n a S S ----=-=-=⨯，∴21(1),34(2).n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（3）设各项非负的数列*{}()n a n ∈N 为“~3λ”数列， 则11133311n n n S S a λ++-== ∵0n a ≥，而11a =，∴10n n S S +≥>1=n c，则1 1)n n c c -=≥，即333(1)(1)( 1)n n n c c c λ-=-≥．（） ①若0λ≤或=1λ，则（）只有一解为=1n c ，即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）②若1λ>，则（）化为3232(1)(1)01n nnc c c λλ+-++=-， ∵1n c ≥，∴3232101n nc c λλ+++>-，则（）只有一解为=1n c ， 即符合条件的数列{}n a 只有一个；（此数列为1，0，0，0，…）③若01λ<<，则3232101nnc c λλ+++=-的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内， 则方程（）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t ）， ∴1n n S S +=或31n n S t S +=，由于数列{}n S 从任何一项求其后一项均有两种不同结果，努力的你，未来可期!精品 ∴这样的数列{}n S 有无数多个，则对应的{}n a 有无数多个； 综上：能存在三个各项非负的数列{}n a 为“~3λ”数列，λ的取值范围是01λ<<．【点睛】本题考查数列新定义，解题是把新定义进行转化，本题就是转化为已知11111k k k n n n S S a λ++-=求n a ，这样只要利用n S 与n a 的关系进行转化．考查了学生分析问题、解决问题的能力，转化与化归能力，本题属于难题．。