2021交大附中高三开学摸底考试卷2020.09一.填空题1. 已知集合 A = (-1,0,1,2｝, B = ｛0,2,3),则 AI B =2. 已知i 是虚数单位，则复数z = (l + i)(2-i)的虚部是3. 己知一组数据4、2a 、3 — a 、5、6的平均数为4,则a 的值是4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是 25. (x +匕)(x+ 4的展开式中x 3/的系数为6. 如果方程Ig 2x + (lg6)lgx + lg2-lg3 =。

的两个根为也、工2,那么 扣易的值为7. 设亿“｝是公差为d 的等差数列，｛妇是公比为0的等比数列，已知数列｛a n +b n ｝的前〃项和S “顼一“ + 2"-1 (n e N* ),贝I ］ d + q 的值是 _______8. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知螺帽的底面正六边形少 边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm9. 将函数y = 3sin(2x + -)的图像向右平移生个单位长度，则平移后的图像中与y 轴最近4 6的对称轴的方程10. 己知5x 2y 2+9y 4=l (%,yeR),则x 2 + y 2的最小值是 11. 在△A5C 中，AB = 4, AC = 3, ZBAC = 90°,Z>在边BC 上，延长AZ )到P,使得AP = 9,若丽= m^+G-ni)元(m 为常数)，则CD 的长度是AB = BC = AC = OO if 则球。

的表面积为( )A. 64TTB. 4所C. 36兀D. 32》 12. 在平面直角坐标系xQy 中，已知P(g,Q), A 、B 是C:x 2+(y-|)2 =36±的两个不同的动点，满足PA = PB, 且网• PB < a 恒成立，则实数。

最小值是二.选择题13. 函数y = xcosx + sinx 在区间［-勿,兀］上的图像可能是( )14.已知A 、B 、。

为球0的球面上的三个点，0 0x A ABC 的外接圆，若。

Q 的面积为4兀,15.若点P（x0,y0）（x o y o ^0）在函数y = y（x）的图像上，y = 函数_y = /（.r）的反函数，设^（y0,x0） > 乌（-知吒）、E（y。

，—此）、4（—知―X。

），则有（）A.点打、R、4、乙有可能都在函数y = f-\x）的图像上B.只有点R不可能在函数y = f-\x）的图像上C.只有点旦不可能在函数y = T\x｝的图像上D.点孔、旦都不可能在函数y = f-'（x）的图像上16,设集合S、T, S c N*, TgN*, S、T中至少有2个元素，且S、T满足：①对于任意的x,yeS,若x/y,则.ryeT；②对于任意的x,y &T ,若x<v，则〉eS；下列命题正确的是（）xA,若S有4个元素，则SUT有7个元素B,若S有4个元素，则SUT有6个元素C,若S有3个元素，则SUT有5个元素D,若S有3个元素，则SUT有4个元素三.解答题17.在三棱锥A-BCD中，已知CB = CD = 0 BD = 2, O为BD的中点，AO±平面BCD, AO = 2, E为AC 的中点.（1）求直线A3与£>E所成角的余弦值；（2）若点F在BC±，满足BF = -BC ,设二面角F-DE-C的大小为0,求sin。

的值.418.在锐角/XABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ,已知2bsin A 一屈 =0 .（1）求角8的大小；（2）求cos A+cosB+cosC的取值范围.19.已知函数/(x)=|3x + l|-2|x-l|.(1)画出y = /'(x)的图像;(2)求不等式/(x)>/(x + l)的解集；2(3)若不等式/(%) >-t2+at-—,对于任意的xeR ,任意的a e[-1,1]恒成立,求实数f的取值范围.20,在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E:j + ； = 1的左、右焦点分别为乙，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2LF X F2,直线与椭圆E相交于另一点3.(1)求的周长；(2)在x轴上任取一点P,直线AP与直线x = 4相交于点Q,求矛•歹的最小值；(3)设点M在椭圆E上，记与△肱43的面积分别为&，若=3S P求点M的坐标.21,已知数列｛%｝(neN* )的首项％=1,前"项和为S”,设人与上是常数，若对一切正整数兀，均有1 j_ j_s"-sj = 成立，则称此数列为~k”数列.(1)若等差数列｛%｝是"人~1”数列，求人的值；(2)若数列｛%｝是“手~2”数列，且为>0,求数列｛%｝的通项公式；(3)对于给定的人，是否存在三个不同的数列｛%｝为“人~3”数列，且a…>0 ?若存在，求人的取值范围; 若不存在，说明理由.参考答案5. 156.17.48.12 右 y625TC1 18 — 9. x = ---- 10.—11.—或012. 4924 35・选择题13. A 14. A15. D16. A17. 解答题（1）连结OC, ,: CB=CD,。

为BZ ）中点，CO±BD, 又AO_L 平面BCD, :.AOLOB, AOLOC,以面，OC,而｝为基底，建立空间直角坐标系。

-砂,BD = 2, CB — CD — A /5 , AO = 2,：.B (1, 0, 0) , 。

(-1, 0, 0) , C (0, 2, 0) , A (0, 0, 2),•:E^JA C 的中点，:.E (0, 1, 1),则而=(1,0,-2)，Dt = (1,1,1)..••即＜ 戒而＞|=需=潟淄直线与庞所成角的余弦值为匝.15(2) •.•点尸在3C 上，BF = -BC ,而= (-1,2,0)，4 .••* = j 而=(-甘,0)，又而= (2,0,0)，=+ = (^<.0).设叫=（冲y x , Z]）为平面。

EF 的一个法向量,工1 + 丹 + Z] =0， 7 1 八 _ 而—y =0 [4 1 2 1取玉=2,得叫=—7，Z] =5，—7,5），设％=32，力，Z2）为平面DEC 的一个法向量，又DC = （1,2,0）.二；；京。

，取…，得—I,…，.•.％=（2，T ，T ） {0,2}2. 13. 2三. —.填空题1. • n z = 0即.• n 2 = 0y = y (x)的图像与y = f(x + l)的图像的交点坐标为(_7, —11),6 67由图像可知当且仅当X<--时，y = /(x)的图像在y = /(x + 1)的图像上方,6.. n . \n,-n 2\ |4 + 7-5| J13 . ._ , • I cos 01= ------------ = —7=—— ----------- ，• • I ----------------------- 2 J39 •| % | • I 〃21 A /78 x^6 13 sin 。

= A /1 -cos 2 0 = ----------------1318. (1)由正弦定理得：2sin3sinA = J^sinA,sinB = —,由题意得B = ~.2 3(2)由A+B + C =兀得：。

=四—A,由MBC 是锐角三角形得A e(-,-) 3 6 2 Iz —,/ 2兀 4\ 1 . y 3 . . yp. 由 cosC = cos( ------ A)=——cos A ------- sin A 得3 2 2同 E > 厂 A /3 A 141 . , 4 兀、1 z*x/3 +1 3cos A + cos B + cos C =——sin A + — cos A + — = sm(A + —) + — € ( --- , —J,2 2 2 6 2 2 2cos A +cos B+cosC 的取值范围是19. (1)由题设知f(x)= <—x —3, x < —,3U 、1，5x-l,——<x<i,y = /(%)的图像如图所示.x + 3,x>l.(2)函数y = /(%)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y = f(x+1)的图像,不等式 f (x )> y (x+i )的解集为(—oo,—7).61 Q(3)由函数图像性质可知，当% = 时，/(尤)取得最小值-§,Q 2则原问题转化为—5 Z —产+ Q ，—对任意a G [-1,1]恒成立,记函数g (•) = -ta +户一 2,要使g (") 2 0对任意a e[-l,l]恒成立,2 220. (1)椭圆E: —+ ^ = 1的长轴长为2a,短轴长为2A,焦距为2c,4 3 .•.△A 摩 的周长为2。

+ 2c = 6.(2) 设户(x,0),Q(4,y),则 OP = (x, 0)，/=(x-4.-y), 0? ■= x(x - 4) = (x - 2)2 - 4 > -4,在 x = 2 时取等号,：.OP QP 的最小值为2 2(3) ...椭圆E:j + ； = 1的左、右焦点分别为F 、E ，3点* 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF 2±F ｝F 2,则 §(—l,0)，E (L0),A(l ，a )，直线 AB-.3x-4y + 3 = 0.设M(x,y) , ...$2=351，点M 到直线AB 距离等于点。

到直线AB 距离的3倍， 由此得：I3x —：y + 3|=3.|3x0 —：x0 + 3|,贝ij3》—4y + 12 = 0或3x —4y —6 = 0 ,3i — 4y + 12 = 0,由 亍 2 得：7X 2 + 24X + 32 = 0,此方程无解；—+ —= 1〔433x-4y-6 = 0,由 < *2 v 2 得：7x~ — 12x —4 = 0 ,x = 2 或 x =—,土 + 匕=1 7〔4 3122 12代入直线Z:3x —4y —6 = 0,对应分别得y = 0或、=一了点M 的坐标为(2,0)或(―,,—了).21. (1) ..•等差数列｛%｝是，〜1”数列，则Sg —& =如,而，即。

“+1=如“+1， 也即(2-1)«…+1 = 0,此式对一切正整数〃均成立，只需<g ⑴润g(-1)20解得：Z<-2,或t>2.则。