8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。

定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。

其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。

现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。

作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。

u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。

现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。

同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。

于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。

例1 设v u z ln 2=，而x y u =，y x v 32+=，求 x z ∂∂，yz ∂∂。

解 函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则 2)(ln 222⋅+-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v u xy v u x v v z x u u z x z )32(2)32ln(22232y x x y y x x y +++-= 31ln 22⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂vu x v u y v v z y u u z y z )32(3)32ln(2222y x x y y x x y +++= 例2 求 )sin(222y x e z xy +=的一阶偏导数。

解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。

设 xy u 2=，22y x v +=，则 v e z usin =。

函数各变量之间的关系如上图所示，由锁链法则x v e y v e xv v z x u u z x z u u 2cos 2sin ⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )]cos()sin([222222y x x y x y e xy +++=yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v e x v e u u 2cos 2sin ⋅+⋅= )]cos()sin([222222y x y y x x e xy +++=例3 设),(u x f z =的偏导数连续，且423y x u +=，求x z ∂∂，yz ∂∂。

解 函数各变量之间的关系如图所示，由锁链法则 x zu y x u x f u x f xu u f x f x z u x 6),(),(⋅'+'=∂∂∂∂+∂∂=∂∂),(6),(u x f x u x f u x '+'= ),(43u x f y yu u f y z u '=∂∂∂∂=∂∂ 练习 P 32 1（1）例4 设函数),(xy y x f z +=可导，求 x z ∂∂，yz ∂∂。

解 可以引入中间变量，按复合函数的求导法则计算。

设 y x u +=，xy v =，则 ),(v u f z =。

函数各变量之间的关系如例1图所示，由锁链法则x v v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂==⋅∂∂+⋅∂∂y v f u f 1vf y u f ∂∂+∂∂ y z ∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u f =⋅∂∂+⋅∂∂x v f uf 1v f x u f ∂∂+∂∂ 例5 设 y x z =，而t x sin =，t y cos =，求 dtdz 。

解 函数各变量之间的关系如下图所示，由锁链法则xz ty)sin (ln cos 1t x x t yx dtdy y z dt dx x z dt dz y y -+=∂∂+∂∂=-t x x t yx y y sin ln cos 1-=- x t t t t t ln )(sin cos )(sin 1cos 21cos +--⋅=例6 设),,(z y x f u =，),(y x z φ=，求x u ∂∂，y u ∂∂。

解 在这个函数中，x ，y 既是中间变量又是自变量，各变量之间的关系下如图所示，由锁链法则x z z f x f x u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂， yz z f y f y u ∂∂∂∂+∂∂=∂∂ xu zy通过上面的例题我们可以看到，在利用复合函数的求导法则对复合函数求导数时，搞清楚函数各变量之间的关系是关键。

只有搞清楚了函数各变量之间的关系，才能够正确应用复合函数的求导法则求复合函数的导数。

练习 P 32 1（6）二． 隐函数求导公式与一元函数的隐函数类似，多元函数的隐函数也是由方程式来确定的一个函数。

比如，由三元方程0),,(=z y x F 所确定的函数),(y x f z =叫做二元隐函数。

但不是所有的方程式都能确定一个函数，也不能保证这个函数是连续的和可以求导的。

例如 01222=+++z y x ，由于x ，y ，z 无论取什么实数都不满足这个方程，从而这个方程不能确定任何实函数),(y x f z =。

原来我们讲一元函数的隐函数求导，是在方程能确定一个一元函数)(x f y =，且这个函数可导的前提下进行的。

因此，现在我们需要解决在什么条件下，可以由一个三元方程式确定一个二元函数，且这个函数是连续的、可导的，以及具体的求导方法。

定理 设函数),,(z y x F 在点),,(000z y x P 的某一邻域内有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠'z y x F z则方程0),,(=z y x F 在),(00y x 的某邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足方程0),,(=z y x F 及条件),(000y x f z =，其偏导数可由0=∂∂∂∂+∂∂x z z F x F 和 0=∂∂∂∂+∂∂yz z F y F 即zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂ 来确定。

这个公式可以推广到一元隐函数和三元隐函数的求导中去。

由0),(=y x F 所确定的一元隐函数)(x f y =的导数是y x F F dx dy ''-= )0(≠'y F 由0),,,(=u z y x F 所确定的三元隐函数),,(z y x f u =的偏导数是u x F F x u ''-=∂∂ u y F F y u ''-=∂∂ u z F F z u ''-=∂∂ )0(≠'u F 例7 求由方程 2222a z y x =++所确定的隐函数(,)z f x y =的偏导数x z ∂∂和yz ∂∂。

解 设=),,(z y x F 2222a z y x -++，则有 x F x 2='，y F y 2='，z F z 2='所以当0≠'z F 时，由定理得z x z x F F x z z x -=-=''-=∂∂22，zy z y F F y z z y -=-=''-=∂∂22 例8 求由方程0sin 2=-+xy e y x 所确定的隐函数的导数dxdy 。

解法1 设2sin ),(xy e y y x F x -+=，则有 2y e F x x -='，xy y F y 2cos -='y x F F dx dy ''-=xy y y e x 2cos 2---=xyy e y x2cos 2--= 解法2 用原来求一元隐函数的导数的方法求因为 ()2cos 20x y y e y xy y ''⋅+-+⋅= 所以 2cos 2xy e y y xy-'=- 很明显，用第一种解法比第二种解法要简单，它不用考虑x 、y 是自变量还是因变量。

例9 求由方程 543215432x y z u +++=所确定的隐函数(),,u f x y z =的导数x u ∂∂，y u ∂∂和zu ∂∂。

解 设=),,,(u z y x F 123452345-+++u z y x ，则有 4x F x ='，3y F y ='，2z F z ='，u F u ='u x F F x u u x 4-=''-=∂∂，u y F F y u u y 3-=''-=∂∂，uz F F z u u z 2-=''-=∂∂ 练习 P 32 3（1）例10 求由方程 0322=-++x xz e e y x z 所确定的隐函数),(y x f z =在点（0，1）处的偏导数（0z >）。

解 设=),,(z y x F x xz e e y x z 322-++，则有xy F x 2='x xz e ze 3-+，2x F y ='，xz z xe z F +='2xz x xz z x xe z e ze xy F F x z +-+-=''-=∂∂232， xz z y xez x F F y z +-=''-=∂∂22又当x=0、y=1时，z =01x y z x ==∂=∂， 010=∂∂==y x y z练习 P 32 3（3）小结 1 多元复合函数的求导法则——锁链法则：xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 2 隐函数求导公式：zF x Fxz ∂∂∂∂-=∂∂ 和 z F y F y z ∂∂∂∂-=∂∂。