赣州市2020年高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题1～5.BAACB ；6～10.ADBDC ；11～12.AB .提示：9.令1ln y x =，2y ax =，(0,)x ∈+∞显然在(0,1)x ∈函数没有三各公共点，故1ln ln y x x ==，111y a x x a '==⇒=，所以21y =，故切点为1(,1)a ，代入1ln y x =得1e a =，1ln 42ln 2y ==，函数过点(4,2ln 2)，2ln 2ln 242a ==，故范围为ln 21(,)2e .10.解法一：不妨设(2,0)a = ，(,)b x y = ，则由()3b b a ⋅-= 得22(1)4x y -+=，22(2)a b x y -=-+ 表示圆22(1)4x y -+=上的点到(2,0)的距离，故max3a b -= .解法二：由()3b b a ⋅-= 得23a b b ⋅=- ，2a = ，222222242(3)10a b a b a b b b b -=+-⋅=+--=- ，要a b - 最大，必须2b 最小，而2cos 30b a b θ-⋅-= ，即22cos 30b b θ--= ，解得2cos cos 3b θθ=++ ，min 121(cos 1)b θ=-+==- ，所以max3a b -= .11三角形1F MN 为直角三角形，故它的内切圆半径1112MF MN NF MF MN NF r +-+-==1212MF MN MN MF MF MF a b +---====，故离心力2e =12.①(2)sin()sin()2x f x x f x π-=-=-，所以成立；④(2)sin sin ()2x f x x f x π+=-=，故该函数为周期函数；②由④得，所以2π是()f x 的一个周期，不妨设02x π≤≤，则2()2sin cos 22x x f x =221cos cos 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2cos [1,1]t x =∈-，令()g t ()32t t =-，则()g t 递增区间是,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭递减区间是[1),(,1]33--，，()g t ∴的极大值为39g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)0g -=，所以最大值不为34.③当2(0,3x π∈时，1cos ,122x t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由②知，()g t 在该区间内有增有减，故不单调.正确结论的个数是2个．故选B ．二、填空题13．12；14．5；15．22142x y +=；16．23.16．分别取AD 和BC 的中点E 、F ，由,PA PD PB PC==知,PE AD PF BC ⊥⊥，又ABCD 是梯形，故EF ∥AB ，从而EF ⊥BC ，故BC ⊥平面PEF ，进而得PE ⊥BC ，而PE ⊥AD ，AD 与BC 相交，故PE ⊥平面ABCD ．由△PBC 的面积为得PF=，由222PF PE EF =+得42PE EF BC⋅≥，进而2PE EF BC ⋅⋅≤，所以1233V PE EF BC =⋅⋅≤．三、解答题17．解（1）由已知得，22sincos sin 2sin 2222A A A A +=…………………………………2分因为sin 02A ≠，所以1sin cos 222A A -=……………………………………………………4分两边平方得，3sin 4A =………………………………………………………………………6分（2）由sin cos 022A A ->得，tan 12A >，从而90A >︒…………………………………7分于是cos 4A =……………………………………………………………………………8分因为△ABC 的面积为1.5，所以4AB AC ⨯=………………………………………………9分由余弦定理得，BC =11分1=………………………………………………………………………………………12分（注：求出AB 和AC 的值给2分，写出余弦定理给1分）18．（1）因为90DAE AEF ∠=∠=︒且A 、D 、E 、F 四点共面，所以AD ∥EF又AD ⊄平面BCFE ，所以AD ∥平面BCFE …………………………………………………2分又平面ABCD 平面BCFE BC =，所以AD ∥BC …………………………………………3分因为BC AB ⊥，所以AD BC ⊥，又AD AE ⊥，所以AD ⊥平面ABE ………………5分而AD ⊂平面ABCD ，故平面ABE ⊥平面ABCD ……………………………………………6分（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形…………………7分由AD ∥EF 及AD ⊥平面ABE 得，EF ⊥平面ABE ………………………………………8分又因为90AEB ∠=︒，所以平面BCFE ⊥平面ADFE ………………………………………9分从而直线CE 与平面AEFD 所成角就是CEF ∠……………………………………………10分因为△ABE 是等腰直角三角形，所以AB =在Rt △CBE 中，tan tan 2BE CEF ECB BC ∠=∠==……………………………………12分另解（建坐标系）（2）由AD BC CD ==和AD ∥BC ，BC AB ⊥可知，ABCD 是正方形………………7分如图建立空间直角坐标系，不妨设2AB =，则(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(2,1,0)A D E C -(2,0,0),(0,1,1),(2,1,1)AD AE CE ==-=- …………………8分设平面AEFD 的法向量为(,,)x y z =n ，则由0,0AD AE ⋅=⋅= n n 得0,0x y z =-=，故令1z =，得(0,1,1)=n ………………10分设直线CE 与平面AEFD 所成角为θ，则||sin 3||||n CE n CE θ⋅== ，从而tan 2θ=………………………12分19．（1）过M 和N 分别作y 轴的垂线，垂足分别为1M 、1N ，则1||||2pMM MF =-1||||2pNN NF =-依题意知11||||2MM NN +=，即||||2MF NF p +-=……………2分于是，把||||4MF NF +=代入得2p =……………………………………………………4分（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 的方程为(0)y kx m m =+<，代入抛物线方程得2440x kx m --=由0∆>得，20k m +>（*）…………………………………………………………………5分设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-．由5OA OB ⋅= 得，12125x x y y +=，即21212(54x x x x +=…………………………………6分把124x x m =-代入得2450m m --=解得1m =-或5m =（舍去）……………………7分（ⅰ）于是直线l 恒过定点(0,1)Q -…………………………………………………………8分（ⅱ）由90FPQ ∠=︒知点P 在以FQ 为直径的圆上，该圆的方程为221x y +=……10分根据（*）得21k >，从而取圆在x 轴的上方部分，又直线l 的斜率存在，因此应剔除与y 轴的交点……………………………………………………………………11分故点P 的轨迹方程为221(0x y y +=>且1)y ≠……………………………………………12分20．（1）记事件C ：“丙受甲感染”，事件D ：“丁受甲感染”，则()0.6P C =，()0.2P D =X 的取值为1,2,3(1)()0.40.80.32P X P C D ==⋅=⨯=(2)()()0.60.80.40.20.56P X P C D P C D ==⋅+⋅=⨯+⨯=(3)()0.60.20.12P X P C D ==⋅=⨯=……………………………………………………3分所以X 的分布列为X123P 0.320.560.12…………………………………………4分10.3220.5630.12 1.8EX =⨯+⨯+⨯=……………………………………………………5分（2）（ⅰ）对于B 区，由2212(2)(2)y y -+-+…27(2)21y +-=知，2(2)21i y -≤（1,2,i =…,7），因为i y 是非负整数，所以|2|4i y -≤，即6i y ≤，所以6N ≤…………………………………………………6分当12,,y y …7,y 中有一个取6，有一个取2，其余取1时，6N =…………………………7分对于A 区，当1230x x x ===，4564x x x ===，79x =时，满足“总体均值为3，中位数4”，此时，9M =………………………………………………………………………………8分所以N M <……………………………………………………………………………………9分（ⅱ）当6N =时，12,,y y …7,y 只有两种情况：①有一个是6，有五个是1或3，有一个是2；②有一个是6，有一个是1或3，有一个是0或4，其余是2．对于①，共有1557621344C C ⨯=组…………………………………………………………10分对于②，共有11127652840C C C ⨯=组…………………………………………………………11分故共有2180组…………………………………………………………………………………12分21．（1）设直线149y x =+切曲线()y f x =于点00(,)x y 0.5()e 14x f x a a+'=+-所以000.50.500e 1414e (14)149x x a a a a x x ++⎧+-=⎪⎨+-=+⎪⎩………………………………………………………2分解得6a =，00.5x =-…………………………………………………………………………4分（2）0.5()6e 8x f x x+=+下证()149f x x +≥（(,2]x ∈-∞）记0.5()6e 69x g x x +=--，则0.5()6(e 1)x g x +'=-，令()0g x '=，得0.5x =-当0.5x <-时，()0g x '<；当0.5x >-时，()0g x '>．于是()g x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,2)-是递增，故()(0.5)0g x g -=≥，即()149f x x +≥…………………………7分再证32885149x x x -++≤（(,2]x ∈-∞）记32()88144h x x x x =---，则()2(21)(7)h x x x '=+-当0.5x <-时，()0h x '>；当0.52x -<<时，()0h x '<．于是()h x 在(,0.5)-∞-上递增，在(0.5,2)-是递减，故()(0.5)0h x h -=≤，即32885149x x x -++≤………………10分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分第（2）问另证：记32()()885h x f x x x =-+-，则0.5()6e 8(31)(1)x h x x x +'=-+-①当0x ≤时，()h x '递增，且(0.5)0h '-=，所以()h x 在(,0.5)-∞-上递减，在(0.5,0)-上递增，故()(0.5)0h x h =≥……………………………………………………………………6分②当01x <≤时，()0h x '≥，此时()h x 在(0,1)上递增，所以()(0)50h x h >=>………………………………………………………………8分③当1x >时，记()()m x h x '=，则0.5()6e 4816x m x x +'=-+（()m x '的导数为0.56e 48x +-）设0.56e 480x +-=的根为0x ，易知0 1.5x >，()m x '在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，00.5000()6e 481616(43)0x m x x x +'=-+=-<………………………………………………9分而(1)0m '<，(2.5)0m '>，所以()0m x '=在1x >时只有一个根1(1.5,2.5)x ∈因此()h x '在1(1,)x 上递减，在1(,)x +∞上递增，故22111111()()48168(321)8(381)2h x h x x x x x x ''=----=--+>≥…………………10分从而()h x 在(1,)+∞上递增，所以()(1)0h x h >>…………………………………………11分综上，不等式32()885f x x x -+≥在(,2]-∞上恒成立…………………………………12分（注：在①②中按13x ≤和113x <≤讨论也行）22.（1）设动圆C 的圆心坐标为(,)x y ，则2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩……………………………2分消去参数θ得，得1C 的方程为22184x y +=…………………………………………………3分直线l 的直角坐标方程为0x m -=…………………………………………………4分（2）设,2sin )M θθ，MN 的最小值等于点M 到直线l 的距离的最小值点M 到直线l 的距离|||)|22m m d θθθϕ--+-==………5分因为d 的最小值不为0，所以||m >……………………………………………………7分当m >时，min 2m d -=，则12m -=，解得1)m =………………8分当m <-时，min 2m d =-，则12m +-=，解得1)m =-………9分综上，1)m =±………………………………………………………………………10分23.（1）由1a b c ++=得，2222()1a b c ab bc ca +++++=…………………………2分因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，所以222a b c ab bc ca ++++≥……………………………………………………………4分从而22212()3()a b c ab bc ca ab bc ca =+++++++≥，即13ab bc ca ++≤………5分（2）222222()()()222a b c a b c a b c b c a a b c b c a b c a+++++=+++++++≥………7分所以2221a b c a b c b c a++++=≥（当且仅当13a b c ===时取“=”号）……………9分从而1t ≤，故t 的最大值为1………………………………………………………………10分（注第（2）要指明等号成立的条件，未指的扣1分）。