高三摸底考试试题
理科数学
本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{}{}()1,2,3,4,5,1,2,3,2,4,U U A B A C B ===⋂=则 A.{}1,2,3,5
B. {}2,4
C. {}1,3
D. {}2,5
2.已知复数z 满足4312i
z i
+=+，则z= A. 2i + B. 2i - C. 12i +
D. 12i -
3.函数21x
y gx
-=的定义域是 A. ()0,2
B. ()()0,11,2⋃
C. (]0,2
D. ()(]0,11,2⋃
4.某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg ）在[)3,2,4,0的人数是 A.30
B.40
C.50
D.55
5.不等式3529x ≤-<的解集为 A. (][)2,14,7-⋃
B. (](]2,14,7-⋃
C. [)(]2,14,7--⋃
D. [)[)2,14,7-⋃
6.已知实数,x y 满足2010,210x y x y z x y x y -≤⎧⎪
-+≥=+⎨⎪++≥⎩
则的最大值为
A. 2-
B. 1-
C.0
D.4
7.根据如图框图，当输入的3x =时，则输出的y 为 A.0 B.9
C.10
D.19
8.圆()2
211x y -+=被直线y x =分成两段圆孤，则较短弧长与长弧长之比为 A.1：2 B.1：3 C.1：4
D.1：5
9.已知数列{}n a 中，114,2n
n n a a a a n n
+==+，则的最小值为 A.2 B.3 C.4
D.5
10.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时不等式()()0f x xf x '+<成立，若()()0.3
0.333113
3,log 3log 3,log log ,,,99a f b f c f a b c ππ⎛⎫
=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
则大小关系是
A. a b c >>
B. c a b >>
C. a c b >>
D. b a c >>
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四分之一，则该几何体的体积为__________. 12.函数sin 2cos 2y x x =-的单调递减区间是________.
13.若双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦距是其一个焦点
到一条渐近线距离的4倍，则该双曲线的离心率为_________.
14.如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧AB 上的点，M 、N 是AB 上的两个三等分点，且AB=6，则PN PM ⋅=_________.
15.已知()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当[]0,3x ∈时，()()2log 1f x x =+函数
()[]22,3,3g x x x m x =-+∈-.如果对于任意[]13,3x ∈-，存在[]23,3x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本题满分12分） 已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
+∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，若4
A π
=，角C 满足1
262
C f π⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求BC AB 的值.
17. （本题满分12分）
如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD ∆是等腰直角
三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =.
（I ）证明：DE//平面ABC ；
（II ）求平面AEC 和平面BDE 所成锐二面角的余弦值. 18. （本题满分12分）
某次数学测验共有3道题，评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”.已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为312
525
，，，且各个问题能否正确解答互不影响. （I ）求该考生至少答对一道题的概率；
（II ）记该考生所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19. （本题满分12分）
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
1232621,4a a a a a +==.
（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足：()()1ln 3n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20. （本题满分13分）
已知椭圆()2222:1013x y C a b a b ⎛⎫
+=>> ⎪ ⎪⎝⎭
过点，（I ）求椭圆C 的标准方程；
（II ）设椭圆C 的下顶点为A ，直线l 过定点302Q ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且满足AM AN =.求直线l 的方程. 21. （本题满分14分）
设函数()2
2
ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈.
（I ）讨论函数()f x 极值点的情况；
（II ）若函数()f x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上不是单调函数，试求实数a 的取值范围.。