山东省桓台第二中学2017届高三数学12月摸底考试试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页。

满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 1．已知R 是实数集，2{|1},{|1}M x N y y x x===-＜，则R N C M ⋂=( ) A.（1，2） B. [0，2] C.∅ D. [1，2]2．设i 为虚数单位，复数3iz i-=，则z 的共轭复数z =( ) A.13i --B. 13i -C. 13i -+D. 13i +3．已知平面向量,a b ，1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为( ) A.6π B.3π C. 4π D.2π4．下列命题中，真命题是( )A. 2,2xx R x ∀∈> B. ,0xx R e ∃∈<C. 若,a b c d >>，则 a c b d ->-D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件5．已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则22(1)z x y =-+的最大值是( )A ．1B ．9C ．2D ．11 6．将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( )A. 12x π=- B. 12x π=C. 6x π=D. 3x π=7．函数()01x y a a a a =->≠且的定义域和值域都是[]0,1，则548log log 65aa += ( ) A. 1B. 2C. 3D. 48．已知函数()()2,14xf x ax e f '=--=-，则函数()y f x =的零点所在的区间是( )A. ()3,2--B. ()1,0-C. ()0,1D. ()4,59．若n xx x )1(6+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6 10．已知函数2()2cos x f x x x π=-+，设12,(0,)x x π∈，12x x ≠且12()()f x f x =，若1x 、0x 、2x 成等差数列，则( )A ．0()0f x '>B ．0()0f x '=C ．0()0f x '<D ．0()f x '的符号不确定第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分.11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2xf x =,则4(log 9)f 的值为______12. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点)0,43(π对称，则ω的最小值是______13．已知等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32a 2、a 2成等差数列， 则a n =______14．已知球的直径4PC =，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒ ，则棱锥P ABC - 的体积为______15．若定义在R 上的偶函数()(1)(1).f x f x f x -=+满足且当[]1,0x ∈-时，2()1,f x x =+如果函数()()g x f x a x =-恰有8个零点，则实数a 的值为______ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16．（本小题满分12分）已知向量(1,cos 2),(sin 2,3)a x b x ==-，函数()f x a b =⋅． （1）若26235f θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求cos2θ的值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+- （1） 当x ＞0时，求()f x 的解析式；（2）若[02]x ∈，时，方程()f x m =有实数根，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直， AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（1）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （2）求二面角E BF A --的正弦值；（3）是否存在点G 满足⊥BF 平面AEG ？并说明理由 20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的首项12a =，且121n n a a -=- (,2)n N n +∈≥． （1）求证：数列{1}n a -为等比数列；并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列}{n na n -的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）设f （x ）＝（xlnx ＋ax ＋2a －a －1）x e ，a ≥－2． （1）若a ＝0，求f （x ）的单调区间；（2）讨论f （x ）在区间（1e，＋∞）上的极值点个数；（3）是否存在a ，使得f （x ）在区间（1e，＋∞）上与x 轴相切?若存在，求出所有a 的值．若不存在，说明理由．GE A高三摸底考试理科数学试题参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分11. 13- 12. 2 13. 321-n 14. 33415. 528- 三.解答题 16．解：（1）∵向量(1,cos 2),(sin 2,3)a x b x ==-， ∴()sin 23cos 22sin(2)3f x a b x x x π=⋅=-=-，∴246()2sin()2sin 23335f ππθθπθ+=+-=-=， 则3sin 5θ=-，2cos 212sin θθ=-97122525=-⨯=； （2）由[0,]2x π∈，则22[,]333x πππ-∈-，∴3sin(2)[,1]32x π-∈-， 则()[3,2]f x ∈-．则()f x 的值域为[3,2]-． 17．解：(1)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时，12a =满足上式，所以2n n a =． (2) 由(Ⅰ)，2n n n b na n ==⨯． 则1212222n n T n =⨯+⨯++⨯，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BCCDBBCBCC所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，则212222nn n T n +-=+++-⨯12(12)212n n n +-=-⨯-1(1)22n n +=--．所以1(1)22n n T n +=-+． 18．解：(1) 当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，当x ＞0时，则－x ＜0时，()(2)e 2x f x x -=-+-， 由于()f x 奇函数，则()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-， 故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． (2) 当0x =时， (0)0f =．当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，则()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2) 上单调递增．则()f x 在1x =处取得极小值(1)2e f =-， 又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，()[2e 2]f x ∈-，． 综上，当[02]x ∈，时，()[2e 2]f x ∈-，， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，． 19．解：（1）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD .因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形， 所以//CD EG 因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC 所以//EG 平面ABC .（2）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ，所以AF AB ⊥，AF BC ⊥因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量.设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n ，故二面角E BF A --的正弦值为322。

（3）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG . 20．解：（1）由121n n a a -=-，得112(1)n n a a --=-，故{1}n a -构成首项为111a -=，公比2q =的等比数列． 所以112n n a --=，即121n n a -=+． （2）1122n n n na n n n n n ---=⋅+-=⋅．所以，01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ①， 12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ②，②-①，得：012122222n nn S n -=-----+⋅12212nn n -=-+⋅-212n n n =⋅+-(1)21n n =-+．21．解：（1）当0=a 时：xe x x xf )1ln ()(-=，（0>x ）故x e x x x x f )1ln 1(ln )('-++=xe x x )1(ln +=当1=x 时：0)('=x f ，当1>x 时：0)('>x f ，当1<x 时：0)('<x f ． 故)(x f 的减区间为：)1,0(，增区间为),1(+∞ （2）xe a ax x x x xf )ln (ln )(2'+++=令=)(x g 2ln ln a ax x x x +++，故a x x x g +++=1ln 1)(',x xx g 11)(2''+-=,显然0)1(''=g ，又当1<x 时：0)(''<x g ．当1>x 时：0)(''>x g ． 故=min ')(x g a g +=2)1('， 2-≥a ，02)()(min ''≥+=≥∴a x g x g ． 故)(x g 在区间),1(+∞e上单调递增，注意到：当+∞→x 时，)(x g +∞→，故)(x g 在),1(+∞e上的零点个数由)11)(1()1(ea a e g ++-=的符号决定． ①当0)1(≥e g ，即：e a 112--≤≤-或1≥a 时：)(x g 在区间),1(+∞e上无零点，即)(x f 无极值点．②当0)1(<e g ，即：111<<--a e 时：)(x g 在区间),1(+∞e上有唯一零点，即)(x f 有唯一极值点．综上：当e a 112--≤≤-或1≥a 时：)(x f 在),1(+∞e上无极值点． 当111<<--a e 时：)(x f 在),1(+∞e上有唯一极值点．（3）假设存在a ，使)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切，则)(x f 必与x 轴相切于极值点处由（2）可知：111<<--a e．不妨设极值点为0x ，则有：⎩⎨⎧=--++==+++=0)1ln ()(0)ln (ln )(0020000200000'x x e a a ax x x x f e a ax x x x x f …（*）同时成立． 联立得：01ln 0=++a x ，即)1(0+-=a e x 代入（*）可得0)1(2)1(=-+++-a a ea ．令)1,2(),1(et a t -∈+-=，2)1()(+--=t t e t h t ．……9分则32)('--=t e t h t，2)(''-=te t h ，当 )1,2(e t -∈时02)1()(1''''<-=<e e e h t h（ <e e 1<21e 2）．故)('t h 在)1,2(e t -∈上单调递减．又01)2(2'>+=--e h ，032)1(1'<--=e e e h e ．故)('t h 在)1,2(et -∈上存在唯一零点0t ．即当),2(0t t -∈时0)('>t h ，)(t h 单调递增．当)1,(0et t ∈时0)('<t h ，)(t h 单调递减．因为01)2(2>+=--eh ，0131)1(21'<---=e ee e h e ．故)(t h 在),2(0t t -∈上无零点，在)1,(0et t ∈上有唯一零点． 由观察易得0)0(=h ，故01=+a ，即：1-=a ．综上可得：存在唯一的1-=a 使得)(x f 在区间),1(+∞e上与x 轴相切．。