2019届高三摸底考试数 学(文科)得分:______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合M ={x |-4≤x -1≤4}和N ={x |x =2k -1,k =1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A .2个B .3个C .1个D .无穷多个2.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.设i 为虚数单位,m ∈R ,“复数z =(m 2-1)+(m -1)i 是纯虚数”是“m =±1”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件4.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线的方程为A .22y ±x =0B .22x ±y =0C .8x ±y =0D .x ±8y =05.下列函数的最小正周期为π的是 A .y =cos 2x B .y =|sin x2|C .y =sin xD .y =tan x26.如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形,则该几何体的体积为A.33B.32C.233D. 3 7.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x-a -x+2 (a >0,a ≠1),若g (2)=a ,则f (2)=A .2 B.154 C.174D .a 28.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=A .-4B .-3C .-2D .-19.已知某程序框图如图所示,当输入的x 的值为5时,输出的y 的值恰好是13,则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A .y =x 3B .y =13xC .y =3xD .y =3-x10.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x -y -6≤0x -y +2≥0x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为12,则2a +3b的最小值为A .4 B.83 C.113 D.25611.过点P ()-1,1作圆C :()x -t 2+()y -t +22=1()t ∈R 的切线,切点分别为A 、B ,则PA →·PB →的最小值为A.103 B.403 C.214D .22-3 12.已知函数f ()x =ln x +()x -b 2x(b ∈R ).若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,使得f (x )>-x ·f ′(x ),则实数b 的取值范围是A.()-∞,2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,32C.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,94 D.()-∞,3选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________.14.在△ABC 中,若∠B =60°,sin A =13,BC =2,则AC =________.15.已知函数f ()x =⎩⎨⎧||x ,x ≤mx 2-2mx +4m ,x >m,其中m >0,若存在实数b ,使得关于x 的方程f ()x =b 有三个不同的零点,则m 的取值范围是________.16.给出如下定理:“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ,则有1h 2=1CA 2+1CB2”.在空间四面体P -ABC 中,若PA 、PB 、PC 两两垂直,底面ABC 上的高为h ,类比上述定理,得到的正确结论是________________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x cos(2π-x ). (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期;(Ⅱ)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,求函数y =f (x )+cos2x 的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)若数列{a n }是递增的等差数列,其中的a 3=5,且a 1、a 2、a 5成等比数列. (Ⅰ)设b n =1(a n +1)(a n +1+1),求数列{b n }的前n 项的和T n .(Ⅱ)是否存在自然数m ,使得m -24<T n <m5对一切n ∈N *恒成立?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.19.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ABE为等腰三角形,AE=BE,平面ABCD⊥平面ABE,点F在CE上,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直,并说明理由;(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离.已知圆M:(x+5)2+y2=36,N(5,0),点P是圆M上的任意一点,线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆M上运动时,试证明|QM|+|QN|为定值,并求出点Q的轨迹C的方程;(Ⅱ)若圆x2+y2=4的切线l与曲线C相交于A、B两点,求△AOB面积的最大值.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R )对任意实数x ,都有x ≤f (x )≤14(x +1)2恒成立.(Ⅰ)证明:f (1)=1;(Ⅱ)若f (-1)=0,求f (x )的表达式;(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )=f (x )-m2x ,x ∈[0,+∞),若g (x )图象上的点都位于直线y =-34的上方,求实数m 的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2=31+2cos 2x ,直线l 的极坐标方程为ρ=4sin θ+cos θ. (Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程;(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点,求Q 点到直线l 距离的最小值. 23.(本小题满分10分)选修4-5: 不等式选讲已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x , x ≥11x, 0<x <1,g (x )=af (x )-|x -2|,a ∈R .(Ⅰ)当a =0时,若g (x )≤|x -1|+b 对任意x ∈(0,+∞)恒成立,求实数b 的取值范围;(Ⅱ)当a =1时,求函数y =g (x )的最小值.炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试 数学(文科)参考答案一、选择题1.B 【解析】由M ={x |-4≤x -1≤4}={x |-3≤x ≤5},则M ∩N ={1,3,5},有3个元素,故选B.2.B3.A 【解析】因为复数z =(m 2-1)+(m -1)i 是纯虚数,则⎩⎪⎨⎪⎧m 2-1=0m -1≠0,显然m =-1,所以,“复数z =(m 2-1)+(m -1)i 是纯虚数”是“m =±1”的充分不必要条件.故答案选A.4.B 【解析】双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3,可得ca=3=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,∴b a=22,则其渐近线的方程为:22x ±y =0,故选B.5.A6.D 【解析】如图所示,该几何体为四棱锥,其中侧面ACBD ⊥底面PAB .侧面ACBD 为直角梯形,DA ⊥AB .该几何体的体积V =13×(1+2)×32×2= 3.故答案选D.7.B8.B9.C 【解析】由程序框图可知,当输入的x 的值为5时,第一次运行,x =5-2=3;第二次运行,x =3-2=1;第三次运行,x =1-2=-1,此时x ≤0,退出循环,要使输出的y 的值为13,只有C 中的函数y =3x符合要求.10.D 【解析】由不等式组作出可行域如图,由a >0,b >0,可知当直线z =ax +by 经过点P (4,6)时,z 取得最大值,由已知得4a +6b =12,即2a +3b =6,所以2a +3b =2a +3b3a+2a +3b 2b =136+b a +a b ≥256,当且仅当b a =a b,即a=b =65时取得等号,故2a +3b 的最小值为256,故选D.11.C 【解析】PA →·PB →=(PC 2-1)2cos ∠APB =(PC 2-1)×(2cos 2∠APC -1)=(PC 2-1)(1-2PC2)=PC 2+2PC2-3,∵PC 2=(t +1)2+(3-t )2=2t 2-4t +10≥8,∴PC 2+2PC 2-3≥8+28-3=214.故选C. 12.C 【解析】f ()x +xf ′()x >0[]xf ()x ′>0,设g ()x =xf ()x =ln x +()x -b 2,若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,使得f ()x +xf ′()x >0,则函数g ()x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上存在子区间使得g ′()x >0成立,g ′()x =1x +2()x -b =2x 2-2bx +1x,设h ()x =2x 2-2bx +1,则h ()2>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0,即8-4b +1>0或12-b +1>0,得b <94,故选C.二、填空题 13.1314.3 3 【解析】由正弦定理得,BC sin A =AC sin B ,即213=AC sin 60°,所以AC =6×32=3 3.15.(3,+∞) 【解析】函数y =||x 为偶函数,且左减右增.函数y =x 2-2mx +4m ()x >m 的对称轴为x =m ,且向右单调递增.故当x ≤m 时函数f ()x 先减后增,当时函数f ()x 单调递增,要f ()x =b 有三个不同的零点则必须满足m >m 2-2m 2+4m ,解得m >3.16.1h 2=1PA 2+1PB 2+1PC2【解析】如图,连接CO ,延长交AB 于点D ,连PD ,由已知可得,PC ⊥PD ,PO ⊥CD ,PA ⊥PB ,PD ⊥AB , 由定理,得1h 2=1PD 2+1PC 2=1PA 2+1PB 2+1PC2.三、解答题17.【解析】(Ⅰ)因为f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2-x cos(2π-x )=2sin x cos x =sin 2x .(4分)所以函数f (x )的最小正周期为π.(6分)(Ⅱ)因为y =f (x )+cos 2x =sin 2x +cos 2x =2sin(2x +π4).(8分)由0≤x ≤π2π4≤2x +π4≤5π4,从而-22≤sin(2x +π4)≤1.(10分)所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,f (x )的最大值为2,最小值为-1.(12分)18.【解析】(Ⅰ)在等差数列中,设公差为d ≠0,由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 22=a 1a 5a 3=5⎩⎪⎨⎪⎧(a 1+d )2=a 1(a 1+4d )a 1+2d =5(2分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2,∴a n =2n -1(3分)则b n =1(a n +1)(a n +1+1)=12n ×(2n +2)=14(1n -1n +1)(4分)所以T n =14(11-12)+14(12-13)+…14(1n -1n +1)=14(1-1n +1)=n4(n +1)(6分)(Ⅱ)T n +1-T n =14(n +1)(n +2)>0,∴{T n }单调递增.(7分)∴T n ≥T 1=18.(8分)T n =14(1-1n +1)=14-14(n +1)<14(9分)要使得m -24<T n<m 5对一切n ∈N *恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧m -24<18m 5≥14,∴54≤m <52(11分)∵m 是自然数,∴m =2.(12分)19.【解析】(Ⅰ)因为BF ⊥平面ACE ,所以BF ⊥AE .(2分) 因为平面ABCD ⊥平面ABE ,BC ⊥AB ,平面ABCD ∩平面ABE =AB ,所以BC ⊥平面ABE , 从而BC ⊥AE .(5分)于是AE ⊥平面BCE ,故平面ADE ⊥平面BCE .(6分)(Ⅱ)方法一:连结BD 交AC 于点M ,则点M 是BD 的中点, 所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等.因为BF ⊥平面ACE ,所以BF 为点B 到平面ACE 的距离.(8分) 因为AE ⊥平面BCE ,所以AE ⊥BE .又AE =BE ,所以△AEB 是等腰直角三角形. 因为AB =2,所以BE =2sin 45°= 2.(9分)在Rt △CBE 中,CE =BC 2+BE 2= 6.(10分) 所以BF =BC ×BE CE =226=233. 故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分)方法二:过点E 作EG ⊥AB ,垂足为G ,因为平面ABCD ⊥平面ABE ,所以EG ⊥平面ABCD . 因为AE ⊥平面BCE ,所以AE ⊥BE .又AE =BE ,所以△AEB 是等腰直角三角形,从而G 为AB 的中点.又AB =2,所以EG =1.(8分)因为AE ⊥平面BCE ,所以AE ⊥EC .又AE =BE =2sin 45°=2,CE =BC 2+BE 2= 6.(10分)设点D 到平面ACE 的距离为h ,因为V D -ACE =V E -ACD ,则13S △ACE ·h =13S △ACD ·EG .所以h =12AD ·DC ·EG 12AE ·EC =2×2×12×6=233,故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分)20.【解析】(Ⅰ)证明:由已知条件得|QN |=|QP |,又|QM |+|QP |=6, ∴|QM |+|QN |=6为定值.(2分)根据椭圆定义得动点Q 的轨迹是以点M 、N 为焦点的椭圆.(3分) 且2a =6,a =3,c =5,b =2,(5分) ∴点Q 的轨迹C 的方程为:x 29+y 24=1.(6分)(Ⅱ)∵直线l 不可能与x 轴平行,∴设切线方程为x =ty +m , 由直线与圆相切,得||m 1+t2=2,∴m 2=4(1+t 2).(7分) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x =ty +mx 29+y 24=1,消去x 得:(4t 2+9)y 2+8tmy +4m 2-36=0,Δ=(8tm )2-4(4t 2+9)(4m 2-36)=144(4t 2-m 2+9)=144×5,∴y 1+y 2=-8tm 4t 2+9,y 1y 2=4m 2-364t 2+9.(8分)又因为||AB =1+t2||y 1-y 2=1+t2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=144(4t 2-m 2)+144×94t 2+9 =1+t 2·1254t 2+9=12541+t 2+51+t2≤12545=3.(9分) 当且仅当41+t 2=51+t 2,即t 2=14时等号成立.(10分) 此时|m |=5,|AB |max =3,又∵S △AOB =12×2×|AB |=|AB |,(11分)∴|m |=5,|t |=12时,△AOB 的面积最大,最大值为3.(12分)21.【解析】(Ⅰ)证明:由题意可得1≤f (1)≤14×(1+1)2=1,则f (1)=1;(3分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f (1)=1,即a +b +c =1,(4分) 又f (-1)=0,即a -b +c =0,(5分) 两式相减可得,b =12,a +c =12即c =12-a ,所以f (x )=ax 2+12x +12-a ,对任意实数x ,都有f (x )≥x ,即为ax 2-12x +12-a ≥0恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ=(-12)2-4a (12-a )≤0, 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >0(4a -1)2≤0,所以a =14,c =12-a =14, 所以f (x )=14x 2+12x +14.(9分)(Ⅲ)法1:由题意知g (x )=f (x )-m 2x =14x 2+(12-m 2)x +14>-34在[0,+∞)上恒成立.即x 2+2(1-m )x +4>0在[0,+∞)上恒成立.记h (x )=x 2+2(1-m )x +4.(ⅰ)由Δ<0,即[2(1-m )]2-4×4<0,解得-1<m <3; (ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0-2(1-m )2h (0)=4>0≤0,解得m ≤-1.综上可知,m ∈(-∞,3).(12分)法2:由题意知g (x )=f (x )-m 2x =14x 2+(12-m 2)x +14>-34在[0,+∞)上恒成立.(ⅰ)当x =0时,g (0)=14>-34成立;(ⅱ)当x >0时,2(m -1)<x 2+4x =x +4x在x ∈(0,+∞)上恒成立,又当x >0时,x +4x≥2x ·4x=4(当且仅当x =2时取得最小值)所以2(m -1)<4,解得m ∈(-∞,3).(12分)请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.【解析】(Ⅰ)C 1:3x 2+y 2=3,l :x +y =4.(4分) (Ⅱ)法1:设Q (cos θ,3sin θ),则点Q 到直线l 的距离d =|cos θ+3sin θ-4|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ+32sin θ-42=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π6-42≥22=2当且仅当θ+π6=2k π+π2,即θ=2k π+π3(k ∈Z )时,Q 点到直线l 距离的最小值为 2.(10分)法2:设Q (x ,y ),直线l :x +y =c 与椭圆方程联立,利用直线与椭圆相切求出c ,则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离.23.【解析】(Ⅰ)当a =0时,g (x )=-|x -2|(x >0), g (x )≤|x -1|+b -b ≤|x -1|+|x -2|(1分)|x -1|+|x -2|≥|(x -1)-(x -2)|=1,当且仅当1≤x ≤2时等号成立,(4分) 实数b 的取值范围是[-1,+∞).(5分)(Ⅱ)当a =1时,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x +x -2, 0<x <12x -2, 1≤x ≤22, x >2,(7分)当0<x <1时,g (x )=1x+x -2>2x ·1x-2=0;(8分) 当x ≥1时,g (x )≥0,当且仅当x =1等号成立;(9分) 故当x =1时,函数y =g (x )取得最小值0.(10分)。