中北大学概率统计习题册第四章完整答案
(详解)
1. 填空
1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX =
npq 。
2）设~()X P λ,则EX =λ，
DX =λ。
3）设~()X E λ,则EX =
1λ
，DX =
2
1
λ。
4）设[]~,X U a b ,则EX =
2
a b
+，DX =
()
2
12
b a -。
5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ，
DX =2σ。
6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则
EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。
7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000,
625N 。
2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。
今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。
解：设X 表示5000件产品中的次品数，则
()~5000,0.001X B 。
50000.0015λ=⨯=，则
()()()2100P X P X P X ≥=-=-=
5000499910.99950000.0010.999=--⨯⨯
0155
5510!1!
e e
--≈--10.006740.033690.95957=--=
注：实际上
5000499910.99950.9990.95964--⨯=
3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且
{}7
07e 0.999!
k N
k P X N k -=≤=≥∑
查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。
解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和 分别为()~[0,5]X U ，
52EX =
；2512
DX =。
5.设(){
}3.02010,,10~2=<<X P N X σ 求：(1) (10)P X <；
解：
()1010(10)00.5
P X σ-⎛⎫
<=Φ=Φ= ⎪⎝⎭
；
(2) )100(<<X P ； 由 {}1020P X <<
20101010σσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
100.5σ⎛⎫
=Φ- ⎪⎝⎭
=0.3
得 100.8σ⎛⎫
Φ= ⎪⎝⎭
所以()10(010)0P X σ⎛⎫
<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭
100.510.3σ⎛⎫
=-+Φ= ⎪⎝⎭
(3) (0)P X <。
(0)P X <=101010.2σσ⎛⎫⎛⎫
=Φ-=-Φ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
注：直接由()f x 关于x=10对称，也可
求得相关结果。
6.设随机变量2~(1,3)X N ，
2~(0,4)Y N ，31Z X Y =--
（1）若X 与Y 相互独立，试求,EZ DZ
与XZ ρ； 解：
1,()0,EX E Y ==()9,D X =()16D Y =,
X 与Y 相互独立 ()3112E Z ∴=⨯-= ()9()()97D Z D X D Y =+= (,)(,31)Cov X Y Cov X X Y =-- 3()(,)27D X Cov X Y =-=
,X Z ρ=
（2） 若XY ρ=0.2，求(,)Cov X Y ，
,EZ DZ 。
解：(,)340.2 2.4Cov X Y =⨯⨯= ()3112E Z =⨯-=
()9()()2(3,)D Z D X D Y Cov X Y =+-
9()()6(,)D X D Y Cov X Y =+- 82.6=
7．若2~(,)X N μσ，求证：
)1,0(~N X σ
μ
-。
证明：由2,EX DX μσ==得
0X EX E μμσσ--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭ 21X DX
D μσσ
-⎛⎫== ⎪⎝⎭
由于正态分布的线性函数仍服从正态分布，所以
)1,0(~N X σ
μ
-。
证法2：由2~(,)X N μσ得X 的概率密度函数为(
)()2
2
2x X f x μσ--
=
，再由
x y μ
σ-=得()x h y y μσ==+，从而有X Y μ
σ
-=
的概率密度函数为
()()()Y X f y h y f y μσ'=+
(
)2
2
2
22y y μσμσ
σ
+--
-==
即()~0,1Y N 。
8.某种电池的寿命X 服从正态分布
2(,)N a σ，其中a =300（小时）,σ=35
求：(1)电池寿命在250小时以上的概率；
(2)x 至少为多少才能使寿命X 在
x a -与x a +之间的概率不小于0.9。
解：（1）
250300(250)135P X -⎛⎫
>=-Φ ⎪⎝⎭
101010.9234
77⎛⎫⎛⎫
=-Φ-=Φ≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(2)()3535x x P a x X a x ⎛⎫⎛⎫
-<<+=Φ-Φ- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
210.9,35x ⎛⎫
=Φ-≥ ⎪⎝⎭则
()0.95 1.64535x ⎛⎫
Φ≥=Φ ⎪⎝⎭
解得x ≥ 57.575
9. 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：X e Y 21--=在区间[]10,上服从均匀分布。
证明：X 的概率密度函数为
()22e 0
x
X x f x x -⎧>=⎨
<⎩ 21e x y -=-是严格单调可微函数 ，并
且当()0,x ∈+∞时()0,1y ∈；又由
21e x y -=-得()()1
ln 12
x y h y =--@，所
以，随机变量21e X Y -=-的概率密度函数为
()()()()01
0X
Y f h y h y y f y ⎧'<<⎪=⎨⎪⎩
其它 ()()11ln 1012210X f y y y ⎧⎛⎫--<<⎪ ⎪
-=⎝⎭⎨⎪⎩
其它 ()()ln 11
2e 01210y y y -⎧<<⎪-=⎨
⎪⎩
其它 101
0y <<⎧⎨
⎩
＝其它 即21e X Y -=-在区间[]10,上服从均匀分
布。
10.设二维随机变量(,X Y )在区域
01,03x y ≤≤≤≤内服从均匀分布，
求：（1）联合密度函数(,)f x y ； 解：区域01,03x y ≤≤≤≤的面积为3，所以(,X Y )的联合概率密度函数为
()101,03
,3
x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪
=⎨⎪⎩其他
（2）()P X Y <； 解：()P X Y <=1
3
01536
x dx dy =⎰⎰
(3) 记0
1
X Y U X Y
<⎧=⎨
≥⎩，
0212X Y
V X Y <⎧=⎨
≥⎩
求(,)U V 的联合分布律及U V +的分布
律。
解：5(0,0)()6
P U V P X Y ===<=
(0,1)(,2)0P U V P X Y X Y ===<>=
(1,0)(2)P U V P Y X Y ===≤<
=10211
3
12x x dx dy =⎰⎰
1(1,1)(2)12P U V P X Y ===≥=
11X (单位：Kg)服从(60,4)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000Kg 的概率不大于0.05。
设最多装n 袋水泥
解：令i X 表示第i 袋水泥的重量，则
~(60,4)i X N ，且相互独立
()1,2,,i n =L
1(60,4)n
i i
Y X N n n ==∑:
{2000}1{2000}P Y P Y >=-≤
10.05=-Φ≤
()0.95 1.645Φ≥=Φ 1.65≥33.0182n ⇒≤
所以最多装33袋水泥。