第4章习题解答4.1 电导率为的均匀、线性、各向同性的导体球，半径为，其表面的电位分布σR 为。

试确定表面上各点的电流密度。

0cos Φθ解：由于导体球的外部是空气，所有在导体球的表面只有切向分量，即0t t t 11sin sin J E e e e R R R θϕθσΦΦΦσσΦσθθθϕ⎛⎫∂∂==-∇=-+= ⎪∂∂⎝⎭4.2 如题4.2图所示平板电容器。

板间填充两种不同的导电媒质，其厚度分别为和，两平板的面积均为。

若在两极板上加上恒定的电压。

试求板间1d 2d S 0U 的电位、电场强度、电流密度以及各分界面上的自由电荷和电容器的漏ΦEJ 电导。

解：理想电容器，满足的定解问题为021==σσ 和 210 Φ∇=220Φ∇=以及12111112120121200x x d d x d x d x d x d V xxΦΦΦΦΦΦεε==+====∂∂====∂∂由直接积分法可以得到电位的通解为 和 1 Ax B Φ=+2Cx DΦ=+由和可以确定出及，则上式电位的表达式为10x Φ==1220x d d V Φ=+=0=B )(210d d C V D +-= 和 1 Ax Φ=2012()Cx V C d d Φ=+-+利用电位在介质分界面的边界条件，则确定出211201211202d d V C d d V A εεεεεε+=+=因此电位分布为和 2012112V x d d εΦεε=+102110221122112()V d Vx d d d d εεεΦεεεε-=+++而对应的电场强度和电位移矢量为和 2101221xE e V d d εεε=-+ 1201221xE e V d d εεε=-+以及和 12101221xD e d d εεεε=-+ 12201221x D e Vd d εεεε=-+ 根据静电比拟法得到对平板电容器内恒定电场的电位为()E ED J εσΦΦ⇔⇔⇔⇔和 2012112V x d d σΦσσ=+102110221122112()V d V x d d d d σσσΦσσσσ-=+++电场强度为和 2101221x E e d d σσσ=-+1201221x E e Vd d σσσ=-+电流密度矢量为和 12101221xJ e d d σσσσ=-+ 12201221x J e d d σσσσ=-+此时的电流称为电容器的漏电流，对应的电导称为电容器的漏电导，有G——极板的面积121221d d d d S SCCJ S E S S I G V d d E l E l σσσσσ⋅⋅====+⋅⋅⎰⎰⎰⎰ A A S 4.3 如题4.3图所示矩形导体片的电导率为，试求导电片上的电位分布σ以及导电片中各处的电流密度。

解：根据题意，定解问题为20Φ∇=以及 00π0 sin0 02nx x ay y byU bΦΦΦΦ====∂====∂于是可以将通解直接选为1212(,)(sinh||cosh||)(sin cos )y y y y x y C k x C k x D k y D k y Φ=++由得到，则0y Φ==02=D 12(,)(sinh ||cosh ||)sin y y y x y C k x C k x k yΦ=+由得到，即。

因此0y byΦ=∂=∂0cos =b k y (21)π,1,2,2y n k n b-== 1(21)π(21)π(21)π(,)sinhcosh sin 222n n n n x n x n yx y C D b b b Φ∞=---⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑由得到，于是0y Φ==0=n D 1(21)π(21)π(,)sinhsin 22n n n x n yx y C b bΦ∞=--=∑再由可以得到0πsin2x ayU ybΦ=∂=∂01π(21)π(21)πsin sinh sin222n n y n a n yU C b b b ∞=--=∑比较系数法可以得到，而其余的系数均为零。

因此，导电片上电位分布为1πsinh2U C a b=0ππ(,)sinh sinπ22sinh 2U x yx y a b b bΦ=利用和可以计算出导电片上各处电流密度分布为E Φ=-∇ E Jσ=0ππππππcosh sin sinh cos π222222sh 2x y x y J E e e x y U x y x y e e a b b b b b b bΦΦσσΦσσ⎛⎫∂∂==-∇=-+ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 4.4 在电导率为的无限大导电媒质中流有电流密度的恒定电流。

今沿轴方向挖一半径为的无限σ0x J J e =z a 长圆孔。

试求空间各处的电位、电场强度和电流密度。

ΦEJ 解：在圆柱坐标系下，均匀电流密度产生的电位为，因此存在空腔的媒质中电位的定J ϕρσcos 0J-(,)Φρϕ解问题为20Φ∇=以及和 0aρΦρ=∂=∂0cos J ρΦρϕσ→∞=-根据分离变量法可以得到问题的通解为001(,)ln [(sin cos )(sin cos )]n n n n n n n A B A n B n C n D n Φρϕρρϕϕρϕϕ∞-==+++++∑代入边界条件可以得到，，即J A σ=-22a J B a A σ==-2(,)(cos J a Φρϕρϕσρ=-+而电流密度为220221(1cos (1)sin z J E e e e z a a J e e ρϕρϕΦΦΦσσΦσρρϕϕϕρρ⎛⎫∂∂∂==-∇=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦4.5 如题4.5图所示，厚度为的扇形弧片由两块大小相同但电导率不同的金属片构d 成。

弧片的内外半径分别为和。

当以和作为电极时，加上恒定的电1R 2R AB CD 压后，试求弧片上的电位分布、分界面上的面电荷密度以及极板间的电阻；若0U 以和作为电极，结果又如何？AAD A BC 解：弧片内电流只有分量，即，。

根据边界条件可以e ϕ 11J J e ϕ= 22J J e ϕ=1n 2n J J =得到，即。

而21JJ =2211E E σσ=π/4π/2021120π/4πd d d ()4CDAB U E e l E E E E ϕρϕρϕρ=-⋅=--=-+⎰⎰⎰ 可以解得 201012121244π()π()U U E e E e ϕϕσσσσρσσρ==++金属片1中的电位分布为10120124πd d 0π()4PABU E e l E ϕϕσΦρϕϕϕσσ=-⋅=-=≤≤+⎰⎰ 金属片2中电位分布为π/4201202210π/412124()ππd [d d ] π()()42PABU U E e l E E ϕϕσσσΦρϕρϕϕϕσσσσ-=-⋅=-+=+≤≤++⎰⎰⎰ 面电荷密度为 00021002121124()()()S U J E E εεεσσρεσσπσσρ⎛⎫-=-=-=⎪+⎝⎭电流为 21021021212144d d ln π()π()b S a U U RI J S d R σσσσρσσρσσ=⋅=⋅=++⎰⎰ 根据电阻的定义可得 1222101π()14ln U R R I U R σσσσ+==当电极改置于内圆弧和外圆弧，则，即，因此电位仅为的函数，21E E =12ΦΦ=Φr 1021d d 0() ()0d d R U R r ΦρΦΦρρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭因此电位分布为 021221()ln(/) ln(/)U r R R R R R Φρρ=≤≤于是有 1020111122222121d()()ln(/)d ln(/)U U d J E r J E r d R R R R σσσσΦσσρρρρ==-===-=因此，总电流为12120121221π()ππd d 444ln(/)S S U d I J S J S J d J d R R σσρρ+=+=+=⎰⎰阻抗为211204ln(/)π()R R R U dσσ=+4.6 球形电容器的内球半径为，外球壳的内半径为。

将两种不同的 导电煤质分别填入两个半球，两种导电a b 煤质的 电导率分别为和。

求该电容器的漏电阻。

1σ2σ解：设在上电位为，上电位为零。

根据题意，电位仅为的函数，因此定解问题为a r =Ub r =Φr 221d d 0() ()0d d r a U b r r r ΦΦΦ⎛⎫=== ⎪⎝⎭因此，通解为C D rΦ=-+根据边界条件可以得到ba aU Db a abU C -=-=因此11abU b a r b Φ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭在两种煤质中电流密度分别为2222221111r a b abU E J r a b abU E J σσσσ-==-==因此总电流为1212122πd d ()S S abUI J S J S b aσσ=+=+-⎰⎰于是电容器的漏电阻1212π()b a R ab σσ-=⋅+4.8 半径为的圆柱形导体内的磁场，试求导体中的总电流。

1a =cm 2424.77102210H e ϕρρ--⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭A /m 解： J H =∇⨯ ()42134.77101210z z z ze e e H e e z H H H ρϕϕρϕρρρρρϕρρρ--∂∂∂∂⎛⎫===⨯- ⎪∂∂∂∂⨯⎝⎭2π0.0142003d 4.77101d 0210S I J S ρρρ--⎛⎫=⋅=⨯-= ⎪⨯⎝⎭⎰⎰⎰ 4.14 已知某一电流分布的矢量磁位为224x y z A e x y e y x e xyz=+-求该电流分布及其对应的。

B解：利用矢量磁位满足的泊松方程来求出电流分布为A222222222y x z x y z x y A A A J A e e e e y e xx y z ∂∂∂=-∇=---=--∂∂∂由可以求出磁感应强度为A B⨯∇=22244()y y x x z z x y z x y z A A A A A A B A e e y x e y z z x xy e xz e yz e y x ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯=-+-+- ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=--+-。