q 1 a ( ) 4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b 2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的 电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
a 像电荷必须有两个： q ，位于源电荷位置的反演点； q d a q q q ,位于球心。球外的电位由 q、q’ 和 q”共同激发。
S 0
qh z z 0 2π ( x 2 y 2 h 2 ) 3 2
导体表面上的总感应电荷：
d d qh qi S dS q 2 2 32 2π 0 0 ( h ) S
2π
第四章
静态场的边值问题
对于边界面为相互正交的两个无限 大接地导体平面情形，为保持两个平面 电位为零，必须设置三个像电荷，如右 图所示。
将
a2 b d
代入，解得
l l
（4-2-7）
第四章
静态场的边值问题
将式(4-2-7)代入(4-2-6)，得柱外任一点的电位为

R （ R
l R ln C 2π 0 R
（4-2-8）
可见，当 为任一常数）时， 为常数。因此在 xy 平面内，等位线方程为
R 2 ( x b) 2 y 2 2 R2 (x d )2 y 2
求解边值问题的方法主要有解析法和数值法两大类。解析 法中最基本的是镜像法和分离变量法。
第四章
静态场的边值问题
4.1 唯一性定理
唯一性定理 在位场的三类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯 方程的解是唯一的。
证明（反证法 ）： 设在区域 V 内，有体电荷分布 (r)，在V 的边界面 S 上，电位的值 f (S) 或电位函数法向导数的值 g(S)已知。假定存在两个解 1 和 2，它们都满足泊
面都互为反演。 =1 所对应的等位面是与 l 和 l’ 均等距的平面。
第四章
静态场的边值问题
两平行线电荷电场的 等位面如右图所示。
若导体圆柱接地，即半径为 a 的圆柱面上任一点电位等于零， 有 所以
l d ln 2π 0 a R Rd l ln C l ln 2π 0 R 2π 0 Ra
圆柱面看作是两根平行线电荷 l 电 场中的两个等位面。设线电荷 l 和 -l 与金属圆柱轴线的距离分别为 b 和 d，如上图所示。
第四章
静态场的边值问题
地面是与两线电荷等距的平面，且电位为零。由式(4-2-11)，可得 金属圆柱的电位为

l R ln 2π 0 R
其中，R+、R- 分别表示线电荷 l 和 l’ 到金属圆柱的圆周上任一点 的距离。对于金属圆柱上的点 A，有
设点电荷 q 位于介质1中，与介质1和介质2的分界面距离 为 d。在 q 的电场作用下，介质极化，出现极化电荷和极化面 电荷。空间任意点的电场由点电荷 q 与极化电荷共同产生。也 可以采用镜像法求解整个空间的电位分布。
第四章
静态场的边值问题
计算介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中、与源电荷镜面对称 位置处的像电荷 q’ 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 1，有
解：设金属圆柱单位长度带电为 l，电位为 ，则单位长金属圆柱与 地面之间的电容为
l C0
只要求出金属圆柱的电位，就可求得电容。 求金属圆柱的电位，可采用镜像法。 无限长带电金属圆柱对地面的像是位于地 面下方对称位置处、带有电荷 l’=l 的圆柱。
利用上面讨论结果，可将金属圆柱面和像
第四章
静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边
值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类： 第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
0,
2
S
0 或 0 n S
第四章
静态场的边值问题
在格林第一恒等式
V
2 ( ) dV d S S S
dS n
中令 = = ’，并利用式(4-1-3)，可知，对三类边界条件都有
2 ( ) dV 0
V
故有 0， 于是 2 1 C。
对于第一类边界条件,
S
0 ,则 C = 0，所以 1 = 2，解是唯一的。
0 , 则 C 不一定为零。常数对梯度无贡献， 对于第二类边界条件, n S
这两个位函数将给出同一场矢量，解也是唯一的。


1 q q ( ) 4π 0 R R 1 q q ( ) 2 2 2 2 4π 0 r d 2rd cos r b 2rb cos
（4-2-2）
q’ 和 b 由球面电位为零的边界条件来确定。考虑球面上的两个 特殊点 = 0 和 = ，由式(4-2-2)，有
松方程和相同的边界条件，即在区域 V 内有
21
在边界面上有
1
S
, 22
1 n g (S ),
S
（4-1-1）
2 n g (S )
S
f ( S ), 2
S
f (S ) 或
（4-1-2） （4-1-3）
令
2 1，于是
唯一性定理给出了定解的充分必要条件，它表明，对于静态 场的分布就唯一地确定。
场，当电荷（或电流）分布以及场域边界面上的边界条件已知时，
第四章
静态场的边值问题
4.2 镜像法
镜像法是求解静态场边值问题的一种间接解法，其理论依据是唯 一性定理。镜像法主要用于求解理想导体附近的电荷产生的电场或 铁磁质附近的电流产生的磁场。在这类问题中，场由区域内的电荷 （电流）以及界面上的电荷（电流）共同激发。镜像法的思想是， 在所求解场区域以外的空间中某些适当位置上，设置适当的像电荷 （像电流）来替代界面上的电荷（电流）的效果，这些等效电荷 （电流）与场域内的电荷（电流）共同作用结果满足场域边界面上 给定的边界条件，从而可以将界面移去，使所求解的边值问题转化 为无界空间的问题。运用镜像法必须遵循两条规则：
由对称性，像电荷也是无限长线电荷。设像电荷的线密 2 a 度为 l ，位于圆柱内，与轴线的距离为 b ，进行试探求 解。
d
Hale Waihona Puke 第四章静态场的边值问题空间任意点的电位等效为由两根平行线电荷 l 和 l 共同产 生。利用例3.1.4的结果，柱外任一点的电位为
l l 1 1 ln π ln C 2π 0 R 2 0 R
（4-2-6）
其中， R、R 分别为源线电荷和像线电荷到场点的距离； l 由柱面 为等位面这一边界条件来确定；C 的值与电位零点的选取有关。
在导体圆柱的圆周上取两特殊点 A 和 B，因为圆柱面为等位
面，故有
l 1 1 1 1 ln l ln C l ln l ln C 2π 0 a d 2π 0 a b 2π 0 d a 2π 0 a b
4.2.2 导体球面镜像法
设点电荷 q 位于一个半径为 a 的 接地导体球外，距球心为 d，如下图所 示。用镜像法求球外的电位分布。 像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。 设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章
静态场的边值问题
a2 将b d
代入，整理可得 2d 2 a2 2 (d 2 a 2 ) 2 2 [x 2 ] y [ 2 ] ( 1) d ( 1)d
上式为圆族方程。这表明，在密度分别为 l 的两根平行线电荷
产生的电场中，等位面是圆柱面族，且 l 和 l’ 的位置关于任一等位
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静态场的边值问题
所以，单位长金属圆柱与地面之间的电容为
C0
l 2π 0 2π 0 2π 0 ln d a ln d h ( h 2 a 2 )1 2 ln
a b a a
如果 h >> a，则
C0
2 π 0 2h ln a
4.2.4 介质平面镜像法
1
1 q q ( ) 2 2 2 4π1 x 2 y 2 ( z d ) 2 x y (z d ) ( z 0)
(4-2-12)
计算介质 2 中的电位时，用位于源电荷所在位置处的像电荷 q 代替极化电荷，并认为整个空间充满介质 2，则有
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静态场的边值问题
1 2 4π 2
q q x y (z d )
2 2 2
( z 0)
上半空间的电场由点电荷以及导体平面上的感应电荷分布共 同激发。z > 0 的上半空间除 q 所在点外，电势满足 2 = 0。 又因为导体平面接地，因此，在 z = 0 的平面上 = 0。 若假设导体平面不存在，而在 z = 0 的平面下与 q 对称地
放置一个电量为 -q 的点电荷，则上半空间内场方程保持不变， 且平面 z = 0 仍为 = 0 的等位面。因此，可以用 q 和 –q 两个 点电荷组成的电荷系统来代替原边值问题。
d
若导体球不接地且带有电量 Q，则当球外放置点电荷 q 后， 它的电位不为零，球面的净电荷为 Q 。为满足边界条件，像电 a q ，位于源电荷位置的反演点； q 荷仍为两个： q” = Q – q’，
位于球心。
d
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静态场的边值问题