曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )也从小变大.
f ( x ) 0
y
y f ( x)
切线的斜率 越来越大
f ( x )单调增加
o x
f ( x )的图像为凹弧
观察右图：
当x从小变大时， f ( x )从大变小.
y
切线的斜率越 来越小
f ( x ) 0
f ( x )单调减少
o
y f ( x)
x
f ( x )的图像为凸弧
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异号，是拐点.
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
2 y 3 x , y 6 x , D : ( , ). 解
当x 0时， y 0, 曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时，y 0,
曲线 在[0, )为凹的.
注意到点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
拐点
凹 弧
y x
3
凸 弧
分界 点
谢谢
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a
o
x0
b
xHale Waihona Puke a ox0b
x
函数的最值
最大值：
一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： ⑴任意的x属于I,都有f(x) ≤M ⑵存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值。
最小值： 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：
⑴任意的x属于I,都有f(x) ≥M ⑵存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值。 对于一段在闭区间上连续的函数，通过把极值和两个 端点值比较得到最值”
y
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP x , MQ y ,
P
β
y=f(x)
Q
Δy
Δx
M
y tan . x
O
x
y 请问： 是割线PQ的什么? x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
由上我们可得以下的结论: 定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内 有导数,如果在 这个区间内 f ( x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f ( x) <0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数. y
y=f(x) f '(x)>0
y=f(x) Q
割 线 T 切线
P

x
o
函数及图象
y
o y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
f ( x) x2
在(,0)上递减
在(0, )上递增
负 正 正
负 正 正
x
在区间(a,b) 上递增
b x
o a
y
y f ( x)
在区间(a,b) 上递减
负
负
o a
b x
y
y=f(x)
f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数.
函数的极值定义
、
y
y
已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点， •如果对X0附近的所有点X，都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把 X0称为函数f(x)的一个极大植点。 •如果对X0附近的所有点X，都有f(x)>f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。 ◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点
利用导数研究函数的性质
主要内容：
一、函数的单调性，极值，最 值 二、利用导函数的单调性研究函数图 像的凹凸性
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的