矩阵法（列表法）
y (0) h(0) y (1) h(1) h(0) h( N 1) h( N 2) y ( N 1 ) 2 2 2 y( N2 ) 0 h( N 2 1) y ( N 1) 0 0 2 0 0 y ( N 2) 0 0 y ( N 1)
不需要位置向量。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
当然, 默认卷积结果序列C也是从0开始，即卷积结果 也不提供特殊的位置信息。 例1.3.4中的两个序列满足上述条件，直接调用conv函 数求解例1.3.4的卷积计算程序ep134.m
%ep134.m：例1.3.4
xn=［1 1 1 1 ］; hn=［1 1 1 1］; yn=conv(xn, hn); yn=［1, 2, 3, 4, 3, 2, 1］

第1章 时域离散信号和系时域离散系统
要计算上式，关键是根据求和号内的两个信号乘积的非零值 区间确定求和的上、下限。 因为n≥m时，u(n-m)才能取非零值； 0≤m≤3时，R4(m)取非零 值, 所以，求和区间中m要同时满足下面两式： m≤n 0≤m≤3 这样求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。
因为很多物理过程都可用这类系统表征，且便于分析、设
计与实现。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
图1.3.1
时域离散系统
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1.3.1
线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线 性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分
别用y1(n)和y2(n)表示，即
（1.3.2）式表征线性系统的可加性；（1.3.3）式表征线 性系统的比例性或齐次性，式中a是常数。 将以上两个公式结合起来，可表示成
y(n) T ax1 (n) bx2 (n) ay1 (n) by2 (n)
上式中a和b均是常数。
（1.3.4）
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
N = N1+N2-1
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
2) 解析法 如果已知两个卷积信号的解析表达式，则可以直接 【例1.3.5】 y(n)=x(n)*h(n)。 解 设x(n)=anu(n)，h(n)=R4(n)，求
y(n) h(n) x(n)
m
nm R ( m ) a u (n m) 4
%nh和nx分别是h和x的位置向量
nys=nh(1)+nx(1); nyf=nh(end)+nx(end); %end y=conv(h, x); ny=nys:nyf;
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
如果h(n)=x(n)=R5(N+2)，则调用convu函数计算 y(n)=h(n)*x(n) h=ones(1, 5); nh=－2:2; x=h; nx=nh; ［y, ny］=convu(h, nh, x, nx) y =［ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ny=［－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4］
【例1.3.1】
证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代
表的系统是非线性系统。
证明
y 2 (n) T x2 (n) ax2 (n) b y(n) y1 (n) y 2 (n)
因此，该系统不是线性系统。
同样方法可以证明
y1 (n) T x1 (n) ax1 (n) b
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
n<0 y(n)=0 0≤n≤3时，乘积的非零值范围为0≤m≤n，因此
y(n) a nm
m 0
n
n 1 1 a an 1 a 1
n≥4时，乘积的非零区间为0≤m≤3，因此
y(n) a nm
m 0
3
4 1 a an 1 a 1
y(n) T x1 (n) x2 (n) ax1 (n) ax2 (n) b
π y (n) x(n) sin 0 n 所代表的系 4
统是线性系统。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1.3.2
时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运算 过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
根据卷积原理知道， y(n)的起始点和终止点分别为：
nys=nhs+nxs，nyf=nhf+nxf。
调用conv函数写出通用卷积函数convu
function [y, ny]=convu(h, nh, x, nx)
%convu 通用卷积函数，y为卷积结果序列向量， %ny是y的位置向量, h和x
与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系
统，用公式表示如下：
y ( n ) T x ( n ) y ( n n0 ) T x ( n n0 )
就是检查其是否满足（1.3.5）式。
（1.3.5）
式中n0为任意整数。检查一个系统是否是时不变系统，
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
【例1.3.3】 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是 时不变系统。 解
y (n) nx(n) y ( n n0 ) ( n n0 ) x ( n n0 ) y (n n0 ) T x(n n0 )
T x(n n0 ) nx(n n0 )
因此该系统不是时不变系统。 此例从物理概念上可以理解成该系统是一个放大器，其放 大量是n，它随n变化，因此是一个时变系统。 π y (n) x(n) sin 0 n 依同样方法可以证明 4 所代表的系统也是时变系统。
图1.3.2
例1.3.4线性卷积
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
图解法求卷积一般包括4个过程：翻转，移位，相乘和相加。
若两序列的长度分别为N和M, 则线性卷积后序列长度为N+M-1。 其实图解法可以用列表法代替，过程如表1.3.1所示。 表1.3.1 图解法（列表法）
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
时域离散线性时不变系统的时域分析方法
1.3 时域离散系统
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系 统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［· ］表示，输出 与输入之间关系用下式表示：
y(n) T x(n)
（1.3.1）
其框图如图1.3.1所示。 在时域离散系统中，线性时不变系统) (n m) m
根据线性系统的叠加性质
y ( n)
m
x(m)T (n m)

第1章 时域离散信号和系时域离散系统
又根据时不变性质
y ( n)
m
x(m)h(n m) x(n) h(n)

（1.3.7）
式中的符号“*”代表卷积运算。
（1.3.7）式表示线性时不变系统的输出等于输入序列和
该系统的单位脉冲响应的卷积。
计算卷积有三种方法：图解法，解析法，利用MATLAB 语言的工具箱函数计算法。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
1） 图解法 观察（1.3.7）式，计算卷积的基本运算是翻转、移位、
y1 (n) T x1 (n) , y2 (n) T x2 (n)
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T x1 (n) x2 (n) y1 (n) y2 (n)
线性系统的可加性
T ax1 (n) ay1 (n)
（1.3.2） 线性系统的比例性或齐次性 （1.3.3）
MATLAB 信号处理工具箱提供了conv 函数，该函 数用于计算两个有限长序列的卷积（或计算两个多项式
相乘）。
C=conv(A, B) 计算两个有限长序列向量A和B的卷 积。如果向量A和B的长度分别为N和M，则卷积结果向
量C的长度为N＋M－1。如果向量A和B为两个多项式的
系数，则C就是这两个多项式乘积的系数。应当注意， conv函数默认A和B表示的两个序列都是从0开始，所以
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
【例】判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时变特性？ 解：1. 判断线性特性 根据定义有： 设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即：
T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
T[bx2(n)]=3bx2(n)+4; 而T[ax1(n)+bx2(n)]=3a x1(n)+3b x2(n)+4 ay1(n)+ by2(n),
【例1.3.2】 解
检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是时
不变系统，式中a和b是常数。
y(n) ax(n) b y(n n0 ) ax(n n0 ) b y(n n0 ) T x(n n0 )
因此该系统是时不变系统。
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
表示为
h(n) T (n)
统的时域特征。
（1.3.6）
h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)相类似，都代表系
第1章 时域离散信号和系时域离散系统
设系统的输入用x(n)表示，按照（1.2.12）式表示成单位 脉冲序列移位加权和为
x ( n)
那么系统输出为
m
x(m) (n m)

x(0) x(1) h(0) x( N1 1) 0 h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(0) 0 0 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(1) h(0)