10
【例1.4.2】 设差分方程为
y(n) ay(n 1) x(n) x(n) δ(n), y(1) 0, n 0,
求输出序列y(n)。
y(n 1) a 1 ( y(n) δ(n))
n 1时, y (0) a 1 ( y (1) δ (1)) 0 n 0时, y (1) a 1 ( y (0) δ (0)) a 1 n 1时, y (2) a 1 ( y (1) δ (1)) a 2 n | n | 时， y (n 1) a n 1
系数，较麻烦，实际中很少采用，这里不作介绍。 （2） 递推解法。这种方法简单，且适合用计算机求 解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分 方程不容易得到封闭式（公式）解答。 （3） 变换域方法。这种方法是将差分方程变换到z 域进行求解，方法简便有效，这部分内容放在第2章学习。
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当然还可以不直接求解差分方程，而是先由差分
y (n) ax(n 1) x(n)
n 0时, y (0) ay( 1) δ (0) 1 n 1时，y (1) ay(0) δ (1) a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) a 2 n n时, y ( n ) a n
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 1.2 1.3 1.4 引 言
时域离散信号 时域离散系统 时域离散系统的输入输出描述法 ——线性常系数差分方程
1.5
模拟信号数字处理方法
1
1.4
时域离散系统的输入输出描述法
——线性常系数差分方程
描述一个系统时，可以不管系统内部的结构如何，将 系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之 间的关系，这种方法称为输入输出描述法。 对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输
、 出，n0时刻以前的N个输出值y(n0－1)、y(n0－2)、
y(n0－N)就构成了初始条件。
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y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
（1.4.1）式表明，已知输入序列和N个初始条件，则
可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，
方程求出系统的单位脉冲响应，再与已知的输入序列
进行卷积运算，得到系统的输出。但是系统的单位脉 冲响应如果不是预先知道，仍然需要求解差分方程，
求其零状态响应解。
本节只介绍递推法.
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y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i 0 i 1
M
N
观察（1.4.1）式，求n时刻的输出，要知道n时刻以 及n时刻以前的输入序列值，还要知道n时刻以前的N个 输出信号值。因此求解差分方程在给定输入序列的条件 下，还需要确定N个初始条件。 以上介绍的三种基本解法都只能在已知N个初始条 件的情况下，才能得到唯一解。如果求n0时刻以后的输
i 0 i 1
或者
a y ( n i ) b x( n i )
i i i 0 i 0
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi 均为常数，式中y(n－i)和x(n－i)项只有一次幂，也没有相 互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。 y(n－i)项中i的取值最大与最小之差确定阶数。在（1.4.2）
式中，y(n－i)项i最大的取值为N，i的最小的取值为零，因
此称为N阶的差分方程。
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1.4.2 线性常系数差分方程的求解
已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输
出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： （1） 经典解法。这种方法类似于模拟系统中求解微
分方程的方法，它包括齐 nu(n)
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（2） 设初始条件:
y (1) 1
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 a n 1时, y (1) ay(0) δ (1) (1 a)a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) (1 a)a 2 n n时, y (n) (1 a)a n y (n) (1 a)a n u (n)
就是该系统的单位脉冲响应，例题1.4.2求出的y(n)则是一
个非因果系统的单位脉冲响应。
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最后要说明的是，一个线性常系数差分方程描述 的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的初始状 态有关。如果系统是因果的，一般在输入x(n)=0(n<n0) 时，则输出y(n)=0(n<n0)，系统是线性非时变系统。
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该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，
因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。
对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向 n>0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身
也可以向n<0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方
程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需 要用初始条件进行限制。下面就是向方向n<0递推的例题。
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将n－1用n代替，得到：
y(n) a u(n 1)
n
输出信号 非因果
用差分方程求系统的单位脉冲响应，由于单位脉冲响应
是当系统输入δ(n)时的零状态响应，因此只要令差分方程
中的输入序列为δ(n)，N个初始条件都为零，其解就是系 统的单位脉冲响应。实际上例题1.4.1（1）中求出的y(n)
可以求出n+1时刻的输出，因此（1.4.1）式表示的差分方 程本身就是一个适合递推法求解的方程。
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【例1.4.1】 设系统用差分方程y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，
输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。
解 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 （1） 设初始条件: y(1) 0
入之间的关系。对于时域离散系统，则用差分方程描述或
研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用 的是线性常系数差分方程。本节主要介绍这类差分方程及 其解法。
2
1.4.1
线性常系数差分方程
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
M N
一个N阶线性常系数差分方程用下式表示： （1.4.1） （1.4.2）