()
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解析：由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y轴 上，设其方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，且a2＋b2＝4，①
又知渐近线方程为 3x±y＝0，∴ab＝ 3，
Байду номын сангаас
②
由①②得a2＝3，b2＝1，∴双曲线方程为y32－x2＝1.
答案：B
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2．(2018·海口二模)已知双曲线C：
＝1上一点，F1，F2分别是双曲线
左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________．
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，
所以P点在双曲线的左支，
则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，
故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
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2．以直线y＝± 2 x为渐近线，且过点(－ 3 ，2)的双曲线的 标准方程为________．
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[演练冲关]
1．(2018·萧山六校联考)已知l为双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，
b＞0)的一条渐近线，l与圆F：(x－c)2＋y2＝a2(其中c2＝
a2＋b2)相交于A，B两点，若△ABF为等腰直角三角形，
则C的离心率为
()
5
A.2
B.2
5 C. 3
6 D. 2
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解析：由题意可设l的方程为bx＋ay＝0.
(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
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ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形性 质
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
()
解析：由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，
故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形 PF1F2 为直角三角形，
因此 S△PF1F2 ＝12|PF1|·|PF2|＝24. 答案：B
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[由题悟法] 应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何 条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且 该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去 掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝± 2x， 不妨可设该双曲线的方程为2x2－y2＝λ. 因为双曲线过点(－ 3，2), 所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x2－y2＝2， 即其标准方程为x2－y22＝1. 答案：x2－y22＝1
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c 关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点
在x轴上，渐近线斜率为±
b a
，当焦点在y轴上，渐近线斜
率为±ab.
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[小题纠偏]
1．设P是双曲线
x2 16
－
y2 20
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3， 所以双曲线标准方程为x2－y32＝1. 答案：x2－y32＝1
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3．(2018·北京高考)若双曲线
x2 a2
－
y2 4
＝1(a＞0)的离心率为
5 2
，
则a＝________.
解析：由e＝ac＝ ∵a＞0，∴a＝4.
又2|AB|＝3|BC|，∴2×2ab2＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．答案：2
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角度二：求双曲线的渐近线方程
2．(2018·乐清调研)以椭圆
x2 4
＋y2＝1的焦点为顶点，长轴顶
点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．
考点一 双曲线的标准方程
基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x2＋y2－4y＝0
的圆心重合，且其渐近线的方程为 3 x±y＝0，则该双曲线
的标准方程为 A.x32－y2＝1 C.x92－1y62 ＝1
B.y32－x2＝1 D.1y62 －x92＝1
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3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，
且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________； 渐近线方程为____________．
解析：因为c＝3，所以e＝ac＝32，解得a＝2，所以b2＝5. 所以双曲线的标准方程为x42－y52＝1，其渐近线方程为
性 对称性 质
顶点
对称轴：_坐__标__轴__
对称中心：_原__点__
顶点坐标：A1(－a,0)，
顶点坐标：
A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
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标准方程
xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
离心率
性 a，b，c 质 的关系
y＝±
5 2 x.
答案：x42－y52＝1
y＝±
5 2x
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4．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线
y2 4
－x2＝1有相同渐
近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为y42－x2＝－λ(λ＞0)，
即xλ2－4yλ2 ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求
解析：由双曲线x32－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝ 5， 所以双曲线x32－y22＝1的焦距为2 5. 答案：2 5
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2．(教材习题改编)以椭圆x42＋y32＝1的焦点为顶点，顶点为焦
点的双曲线方程为________． 解析：设要求的双曲线方程为xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)， 由椭圆x42＋y32＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．
[即时应用]
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1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在
C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝
()
1
3
3
4
A.4
B.5
C.4
D.5
解析：双曲线方程可化为x22－y22＝1，∴a＝b＝ 2，∴c＝2.
由||PPFF11||－＝|2P|PFF2|2＝| 2 2， 得|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2，由余弦 定理得cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|2·||P2－F2||F1F2|2＝34. 答案：C
e＝ac，e∈_(1_，__＋__∞__)__ c2＝_a_2_＋__b_2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝__2_a_； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_2_b__ a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
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[小题体验] 1．双曲线x32－y22＝1的焦距为________．
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2．(2018·余姚期初)已知△ABC的顶点A，B分别为双曲线
1x62 －y92＝1的左、右焦点，顶点C在双曲线上，
则|sin
A－sin sin C
B|的值为____________．
解析：由正弦定理知，siBnCA＝siAnCB＝siAnBC，由双曲线
的定义可知，|sin
A－sin sin C
解析：由题意可知所求双曲线方程可设为 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)，则a＝ 4－1＝ 3，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝4－3＝1，
故所求渐近线方程为y＝±
3 3 x.
答案：y＝±
3 3x
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角度三：求双曲线方程
3．过双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂
线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、
半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的
方程为
()
A.x42－1y22 ＝1 C.x82－y82＝1
B.x72－y92＝1 D.1x22 －y42＝1
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解析：由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为 y＝bax，因此可得点A的坐标为(a，b)．设右焦点为F(c,0)， 由已知可得c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有 (c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝2c＝2， 所以b2＝c2－a2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x42－1y22 ＝1. 答案：A
角度一：求双曲线的离心率(或范围)
1．(2016·山东高考)已知双曲线E：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)，
若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两
个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 解析：如图，由题意知|AB|＝2ab2，|BC|＝2c.
第七 节
双曲线
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能