盐城市2011届高三第二次调研考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。

1、复数i z +=2的共轭复数为 ▲ .2、已知集合A={x|x+1>0}，B={x|x-3<0}，则=⋂B A ▲ .3、从{1，2，3}中随机选取一个数a ，从{2，3}中随机取一个数b ，则b>a 的概率是 ▲ .4、已知a ，b ，c 是非零实数，则“a,b,c 成等比数列”是ac b =的 ▲ 条件（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.5、将参加数学夏令营的100名同学编号为001，002，……100，现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得号码为004，则在046至078号中，被抽中的人数为 ▲ .6、如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是 ▲ .7、函数)32cos()62sin(ππ-++=x x y 的最大值为 ▲ .8、已知公差不为零的等差数列{}n a 满足931,,a a a 成等比数列，{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，则67911S S S S --的值是 ▲ .9、已知命题：“若x ⊥y,y ∥z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x,y,z 在空间所表示 的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x ，y 是直线，z 是平面； ④x ，z 是平面，y 是直线。

上述判断中，正确的有 ▲ （请你将认为正确 的判断序号都填上）.10、已知函数b x a x f x+-=)(的零点))(1,(0Z k k k x ∈+∈，其中常数a ，b 满足 493,23==ba，则k= ▲ . 11、在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，L 为左准线，PQ ⊥L 垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲.12、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1， AB=3，动点P 在△BCD 内运动（含边界），设 ),(R ∈+=βαβα，则βα+的取值范围是 ▲ . 13、已知函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a x x x f 若存在， )1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得9|)()(|21≤-ξξf f ，则a 的取值范围是 ▲ .14、已知函数∑∑==----===nk nnk n nn k g n k f S x x g x x f 2121)2)1((21)2)1((2,sin )(,cos )(ππ记11,.....21<+++=m m m T S S S T 若，则m 的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

15.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a === (Ⅰ)求c 的值； （Ⅱ）求)32sin(π-A 的值。

16.（本小题满分14分）在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABCD 是菱形。

(Ⅰ)求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1 （Ⅱ）求该多面体的体积。

C 1B 1A 1DCBA17.（本小题满分14分）如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数[]8,4),2||,0,0)(sin(∈<>>+=x A x A y πϕωϕω时的图象，图象的最高点为)338,5(B ，DF ⊥OC ， 垂足为F.(Ⅰ)求函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式；PMFE ，问点P 落在曲线OD乐园的面积最大？18．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x=5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13，圆弧C 2过点A （29，0）。

（Ⅰ）求圆弧C 2的方程；（Ⅱ）曲线C 上是否存在点P ，满足PO PA 30=？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由。

（Ⅲ）已知直线l ：x-my-14=0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF=33时，求坐标原点O 到直线l 的距离。

y19．（本题满分16分） 已知函数b x a x x f ++=2)(是定义在R 上的奇函数，其值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41。

（Ⅰ）试求a ，b 的值；（Ⅱ）函数))((R x x g y ∈=满足：①当[)3,0∈x 时，g(x)=f(x)；②g(x+3)=g(x)lnm(m ≠1)① 求函数g(x)在[)9,3上的解析式；②若函数g(x)在[)+∞∈,0x 上的值域是闭区间，试探求m 的取值范围，并说明理由。

20（本小题满分16分）已知数列{}n a 单调递增，且各项非负，对于正整数K ，若对任意i ，j (K j i ≤≤≤1)，j i a a - 仍是{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“K 项可减数列”。

（Ⅰ）已知数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{}2-n b 是“K 项可减数列”，试确定K 的最大值。

（Ⅱ）求证：若数列{}n a 是“K 项可减数列”，则其前n 项的和),.....,2,1(2K n a nS n n ==（Ⅲ）已知{}n a 是各项非负的递增数列，写出（Ⅱ）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由。

盐城市2010/2011学年度高三年级第二次调研考试数学加试题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21.[选做题]在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内。

A.（选修4-1：几何证明选讲）过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连接OP 与圆O 交于点C ，过C 作AP 的垂线，垂足为D ，若PA=12m ，PC=6m ，求CD 的长。

B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值。

C.（选修4-4：坐标系与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为)3cos(21πθρρ+==与，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。

D.（选修4-5：不等式选讲）APDOC设1a ，2a ，3a 均为正数，且ma a a m ，a a a 9111:321321≥++=++求证[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分，请把答案写在答题纸的指定区域内. 22（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆1422=+y x 在第一象限的部分为曲线C ，曲线C 在其上动点P （x 0，y 0）处切线l 与x 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM += （Ⅰ）求切线l 的方程； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程。

23.（本小题满分10分）已知数列}{n a 满足)2,0(),(121∈∈+-=+a R p pa a a n n n 且，试猜想p 的最小值，使得)2,0(∈n a 对*N n ∈恒成立，并给出证明。

盐城市2011届高三第二次调研考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1.i 2. {13}x x -<< 3.124.必要不充分5.86.347.28.3 9.①②④ 10.1 11.1] 12.4[1,]313.(]1,4 14. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 25c b a A bc +-==………………………………………………7分于是sin A ==分从而4s i n 22s 5A A A == ……10分 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以s i n (2)s i n 2c o s c o s 2333A A A πππ-=- (14)分16．（Ⅰ）证:由正三棱柱111ABC A B C -,得1BB AD ⊥,而四边形A B D C 是菱形,所以A DBC ⊥,又1,BB BC ⊂平面11,BB C C 且1BC BB B = ,所以AD ⊥平面11BCC B …………………………5分则由AD ⊂平面1ADC ,得平面1ADC ⊥平面11BCC B …………………………………………… 7分 (Ⅱ)因为正三棱柱111ABC A B C -的体积为11ABC V S AA ∆=⨯=分四棱锥11D B C CB -的体积为11211()32BCC B V S AD =⨯=……………………………………13分所以该多面体的体积为V =分 17．解：（Ⅰ）对于函数sin()y A x ωφ=+,由图象知,224(85)6A T πππω====-……………4分将B 代入到sin()6y x πφ=+中,得52()62k k Z ππφπ+=+∈,又||2πφ<,所以3πφ=-,故sin()63y x ππ=-………………………………………………………………7分(Ⅱ)在sin()63y x ππ=-中令4x =,得(4,4)A ,得曲线OA 的方程为24(04)y x x =≤≤…9分设点2(,)(04)4t P t t ≤≤,则矩形PMFE的面积为2(4)4t S t =-(04)x ≤≤……………………11分因为2344t S '=-,由0S '=,得t =,且当t ∈时,0S '>,S 递增;当4)t ∈时,0S '<,S 递减,所以当t =时,S 最大,此时点P 的坐标为4(3........................14分 18．解：（Ⅰ）圆弧1C 所在圆的方程为22169x y +=,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12) (2)分则直线AM 的方程为62(17)y x -=-,令y=0,得圆弧2C 所在圆的圆心为2O (14,0), 又圆弧2C 所在圆的半径为2r =29-14=15,所以圆弧2C 的方程为22(14)225(5)x y x -+=≥……5分(Ⅱ)假设存在这样的点(,)P x y ,则由PA =,得222290x y x ++-=………………………8分由22222290169(135)x y x x y x ⎧++-=⎨+=-≤≤⎩,解得70x =-(舍去) …………………………………………………9分 由22222290(14)225(529)x y x x y x ⎧++-=⎨-+=≤≤⎩,解得0x =(舍去) , 综上知,这样的点P 不存在………………………………………………………………………………10分 (Ⅲ)因为21,EF r EF r >>,所以,E F 两点分别在两个圆弧上, 又直线l 恒过圆弧2C 原在圆的圆心(14,0),所以15EF =分即18=,解得2161516d =,即d = (16)分19．解：（Ⅰ）()f x 定义域为R ，0b ∴>.又()f x 为奇函数,由()()f x f x -=-对x R ∈恒成立,得0a = ……………………………………………………………………………………………………2分()f x 的值域为111[,],()444f x -∴≤得2400x x b -+≥∴∆=得4b =(或用均值不等式求解) 5分（Ⅱ）①当[3,6)x ∈时2(3)ln ()(3)ln (3)4x mg x g x m x -=-=-+……………………………………………6分 当[6,9)x ∈时222(6)(ln )()(6)(ln )(6)4x m g x g x m x -=-=-+,222(3)ln ,[3,6)(3)4()(6)(ln ),[6,9)(6)4x mx x g x x m x x -⎧∈⎪-+⎪∴=⎨-⎪∈⎪-+⎩………………………………………………………………9分 ②当3n x 3n+3(n 0,n Z)≤≤≥∈时,2(3)(ln )()(3)4nx n m g x x n -=-+的值域为(ln )[0,]4n m , 其中当32x n =+时(ln )(324n m f n +=）………………………………………………………………11分(1)当|ln |1m >时2(ln )(624n m f n +=）的值趋向无穷大，从而()f x 的值域不为闭区间…………12分(2)当ln 1m =时由(3)()g x g x +=得()g x 是3为周期的函数，从而()f x 的值域为闭区间1[0,]413分 (3)当ln 1m =-时由(3)()g x g x +=-得(6)()g x g x +=得()g x 是6为周期的函数，且当[3,6)x ∈2(3)()(3)4x g x x --=-+值域为1[,0]4-，从而()f x 的值域为闭区间11[,]44-………14分 (4)当0ln 1m <<时由(l n )1(3244n m f n +=<），从而()f x 的值域为闭区间1[0,]4………………15分 (5)当1ln 0m -<<时由ln (ln )1(32444n m m f n ≤+=<），从而()f x 的值域为闭区间ln 1[,]44m -,综上，当1ln 1m -≤≤即1[,1)(1,]m e e∈⋃时()g x 的值域为闭区间 (16)分20．(Ⅰ) 解:设222n n n c b =-=-,则1230,2,6c c c ===,易得11121222,,c c c c c c c c c -=-=-=, 即数列{}n c 一定是“2项可减数列” …………………2分但因为321322323,,c c c c c c c c c -≠-≠-≠,所以K 的最大值为2……………………………………4分(Ⅱ)证明:因为数列{}n a 是“K 项可减数列”,所以(1,2,,)K t a a t K -=⋅⋅⋅必定是数列{}n a 中的项,而{}n a 是递增数列,121K K K K K K K a a a a a a a a ---<-<-<⋅⋅⋅<-, 所以必有11,,,K K K Ka a a a ---=-=-=⋅⋅⋅-=………………………………6分 故123121()()()()K K K K K K K K a a a a a a a a a a a a --+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-123()K K Ka a a a a =-+++⋅⋅⋅+, 所以K K K S Ka S =-,即2K K KS a =……………………………8分又由定义知,数列{}n a 也是“t 项可减数列”的(1,2,,1t K =⋅⋅⋅-), 所以(1,2,,)2n n nS a n K ==⋅⋅⋅………………………………………………………………………… 9分 (Ⅲ)解:(Ⅱ)的逆命题为:若数列{}n a 满足前n 项的和(1,2,,)2n n nS a n K ==⋅⋅⋅是“K 项可减数列”,则该数列一定是“K 项可减数列” ……………………………………………………………………10分 该逆命题为真命题………………………………………………………………………………………11分 理由如下:因为(1)2n n n S a n K =≤≤,所以当2n ≥时,1112n n n S a ---=,两式相减, 得11122n n n n n n n a S S a a ---=-=-,即1(2)(1)(2)n n n a n a n --=-≥(*) …………………………12分则当3n ≥时,有12(3)(2)n n n a n a ---=- (**),由(**)－(*),得212(3)n n n a a a n --+=≥……………13分又1112a a =,所以10a =,故数列12,,,K a a a ⋅⋅⋅是首项为0的递增等差数列…………………………14分设公差为(0)d d >,则(1),(1,2,,)n a n d n K =-=⋅⋅⋅对于任意的,(1)i j i j K ≤≤≤,1()j i j i a a j i d a -+-=-=……………………………………………15分 因为11j i K ≤-+≤,所以j i a a -仍是12,,,K a a a ⋅⋅⋅中的项,故数列{}n a 是“K 项可减数列”……16分数学附加题部分21．A. 解：连接AO ，PA 为圆的切线，∴△PAO 为RT △，122+r 2=（r+6）2………………………4分 ∴r=9……………6分 又CD 垂直于PA ，于是PC CD PO AO =,∴CD=185㎝………………………10分 B.解：矩阵M的特征多项式为xf ----=λλλ221)(=4))(1(---x λλ……………………3分因为31=λ方程0)(=λf 的一根，所以1=x …………………………………………………………6分 由04)1)(1(=---λλ得12-=λ……………………………………………………………………10分C. 解：（Ⅰ）由1ρ=得221x y +=，又22cos()cos ,cos sin 3πρθθθρρθθ=+=∴=- (5)分220x y x ∴+-=，由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩,得1(1,0),(,22A B --,AB ∴==分 D.因为123111()m a a a ++g 123123111()()a a a a a a =++++9≥，当且仅当123m a a a ===时等号成立…………………………………………………………………5分又因为1230m a a a =++>，所以1231119.a a a m ++≥…………………………………10分22.解：（Ⅰ）因为y =所以2(2)2y x '=-=3分 故切线l的方程为0)y x x -=-,即y x =………………5分(Ⅱ)设12(,0),(0,)A x B y ,(,)M x y 是轨迹上任一点,在y x =+中令0y =,得101x x =;令0x =,得2y =,则由O M O A =+,得1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………8分 消去0x ,得动点M 的轨迹2C 方程为22141(1)x x y +=>……………………………………………10分 23.解：当n=1时,欲221111()0a a pa a a p =-+=-+>恒成立,而1(0,2)a ∈,则1p a >,所以2p ≥由此猜想p 的最小值为2…………………………………………………………………………………4分因为2p ≥,所以要证该猜想成立,只要证:当2p =时,(0,2)n a ∈对*n N ∈恒成立…………………5分现用数学归纳法证明之:①当n =1时结论显然成立.……………………………………………………6分②假设当n =k 时结论成立，即a k ∈(0, 2), 则当n =k +1时，a k+1=－a k 2+2a k = a k (2－a k )一方面,a k+1=a k (2－a k )>0成立………………………………………………………………………… 8分另一方面,a k+1=a k (2－a k )=－(a k －1)2+1≤1<2,所以a k+1∈(0, 2)，即当n =k +1时结论也成立.… 9分由①、②可知,猜想成立,即p 的最小值为2……………………………………………………………10分。