【考前预测篇1】热点试题精做1．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}2320A x x x =-+>，{}1,B m =，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()(),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()2,+∞ 【答案】B【解析】由题可知，{}()(){}{}232012012A x x x x x x x x x =-+>=-->=或．因为A B ≠∅，所以m A ∈，即1m <或2m >，所以实数m 的取值范围是()(),12,-∞+∞．故选：B2．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知集合{}{}22540,7100A x x x B x x x =-+<=-+<，则A B ⋃=（ ）A ．()1,2B ．()1,5C ．()2,4D ．()4,5【答案】B【解析】{}{}14,25A x x B x x =<<=<<，故A B ⋃=()1,5.故选：B. 3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））若1i1iz +=-，则z z ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【答案】A 【解析】解：()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z +++===--+，则i z =-，所以()i i 1z z ⋅=⋅-=，故选：A4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z +=，则z =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B 【解析】由已知2222221ii (1i)12i i 2i i i z ======-+++，所以i 1z =-=．故选：B ．5．（2022·湖南湘潭·三模）已知平面向量()2,3a x =+-，()6,24b x x =++，则“2x =-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为向量()2,3a x =+-，()6,24b x x =++， 由a b ⊥，可得()()()263240x x x ++-+=，解得0x =或2x =-， 所以“2"x =-是“a b ⊥"的充分不必要条件.故选：B. 6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间(0,)4π上单调递减B ．()f x 的图像关于直线()Z 2x k k ππ=+∈对称C ．()f xD ．()f x 在区间[,]-ππ上有3个零点 【答案】C【解析】依题意，函数),224()sin cos (Z)),224x k x k f x x x k x k x k ππππππππ+≤<+=+=∈+-≤<， 对于A ，(0,)4x π∈时，())4f x x π+在(0,)4π上单调递增，A 不正确；对于B，()sin cos444f πππ=+=(2)|sin(2)|cos(2)444f k k k πππππππππ+-=+-++-sincos044ππ=-=，Z k ∈，即点(,())44f ππ在函数()f x 的图像上，而该点关于直线()Z 2x k k ππ=+∈的对称点(2,())44k f ππππ+-不在函数()f x 的图像上，B 不正确；对于C ，当22(Z)k x k k πππ≤≤+∈时，522(Z)444k x k k πππππ+≤+≤+∈，函数())4f x x π+的取值集合是[-，当22(Z)k x k k πππ-≤≤∈时，322(Z)444k x k k πππππ-≤+<+∈，函数())4f x x π=+的取值集合是[-，因此，函数()f x 在R 上的值域为[-，则()f x 的最大值为，C 正确；对于D ，当[,0]x π∈-)04x π+=得34x π=-，当[0,]x π∈时，由)04x π+=得34x π=，则()f x 在[,]-ππ上只有2个零点，D 不正确. 故选：C7．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象大致如图所示．将函数()2236g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为偶函数，则θ=（ ）A ．6πB ．3πC ．8πD ．12π【答案】C【解析】由图可知，1A =，22436πππω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1ω=，又由五点画图法有106πϕ⨯+=，可得6πϕ=-，可得()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos 2cos 2sin 2cos 2236664g x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()g x 向左平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，所得函数为 ()()22244h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由奇偶性及02πθ<<，可得242θππ+=，可得8θπ=．故选：C8．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）A ．10B ．3 CD【答案】C 【解析】因为1cos 4A =，则sin A1sin 2ABCS bc A ===， 所以6bc =，又1b c -=，可得3b =，2c =，所以2222cos 10a b c bc A =+-=，即a =故选：C9．（2022·北京通州·一模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3520a a +=，则7S =（ ）A ．60B ．70C ．120D ．140【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，3520a a +=，则44220,10a a == ， 故174747()7277022a a a S a +⨯====，故选：B 10．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ）A ．1939B ．3839C ．2041D ．4041【答案】C【解析】对于2n S n =，当n =1时，111a S ==； 当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=； 经检验，21n a n =-对n =1也成立，所以21n a n =-.所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以201111112012335394141T ⎛⎫=-+-++-= ⎪⎝⎭. 故选：C11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有（ ）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角 ③截面1AEC 周长的最小值为A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【答案】C【解析】取AC 中点D ，11A C 中点F ，连接DF ，矩形11ACC A 中可得1//DF AA ，1DF AA =，1AA ⊥平面ABC ，所以DF ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，所以D 是ABC 外心，同理F 是111A B C △的外心，所以DF 的中点O 是直三棱柱外接球的球心，由已知AC CD =，又1211A O A D ==，所以OC ，所以外接球的体积为343V π=⨯=，①正确；矩形11AA B B 中，11,2AB AA ==，1AA 为直径的圆与1BB 相切，切点为1BB 的中点，当E 为切点时，190AEA ∠=︒．当E 是1BB 上其他点时，190AEA ∠<︒，②错误；1AEC中，1AC =11BB C C 与矩形11ABB A 摊平，得正方形11''AAC C ，当1,,A E C '共线时，1AE EC +最短，最短为 所以截面1AEC周长的最小值为故选：C ．12．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知在ABC 中,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且π,a A ==26.又点 ,,A B C 都在球O 的球面上,且点O 到平面ABC则球O 的表面积为（ ） A ．12π B ．63π2C ．36πD ．45π【答案】C【解析】设ABC 的外接圆半径为r ，球的半径为R ，则 在ABC 中，由正弦定理，得πsin sin a r A ===2246，解得2r =.又因为点O 到平面ABC 所以3R ==.所以球O 的表面积为224π4π336πS R ==⨯⨯=.故选：C.13．（2022·广西南宁·二模（理））已知F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）．A B ．13C D 【答案】C【解析】设椭圆右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=． 因为120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒．所以62PF PF PF a ''+==，则13PF a '=，53PF a =．由余弦定理可得()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-，即2222574433c a a a =-=，即22712c a =故椭圆离心率e =， 故选：C ．14．（2022·河南·模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在C 的一条渐近线上，且FB BO ⊥（点O 为坐标原点），直线FB 与y 轴交于点D ．若直线AB 过线段OD 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】C【解析】设OD 中点为Q ，即直线AB 交y 轴于Q ，由双曲线方程知：一条渐近线方程为by x a=-，(),0F c -，(),0A a ， 则直线FD 方程为：()a y x c b =+，令0x =，则D ac y b =，即0,ac D b ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：2a x c ab yc ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab B c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2ABabc c k a a c a c∴==-+--，∴直线AB 方程为：()b y x a a c =--+， 令0x =，则Q aby a c =+，又Q 为OD 中点，2ab ac a c b∴=+， 则2222222b ac c c a =+=-，即2220c ac a --=，220e e ∴--=，解得：1e =-（舍）或2e =.故选：C.15．（2022·江苏泰州·模拟预测）将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】先将4人分成2，1，1的三组，有24C 6=种，再分配到3个核酸检测点有33A 6=种，按照分步乘法计数原理，共有6636⨯=种.故选：D.16．（2022·四川绵阳·三模（文））今4名医生分别到A 、B 、C 三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】C【解析】先从4名医生中任选2人，组成一个小组，有24C 种不同的选法，将此小组连同另外的2人作为3个不同元素，在三所医院排序，有3!种排序方式，根据乘法计数原理，共有24C ?3!种不同的安排方式；其中甲、乙两名医生组成一个小组，与其余两人，看成三个不同元素，A 、B 、C 三所医院作为位置，进行全排列，共有3!种不同的安排方式，故甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为243!1C ?3!6=,故选：C.17．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知3log 16a =，2log 5b =，5log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【答案】D【解析】25552223324825616163⎛⎫==<=⇒> ⎪⎝⎭，所以52335log 16log 32a =>=，25552222232552⎛⎫==>⇒< ⎪⎝⎭，499944422512625552⎛⎫==<=⇒> ⎪⎝⎭，所以9542222log 2log 5log 2<<，即9542b <<. 5555log 35log 5log 71log 7c ==+=+，45554445531252401775⎛⎫==>=⇒< ⎪⎝⎭， 所以5455591log 71log 5144c =+<+=+=，综上所述，a b c >>.故选：D18．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2D ．()2,+∞【答案】B【解析】因为()21,0212,02122,2x x x f x x x x x ⎧+≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()()()2210f x k xf x kx -++=可得()()0f x x f x kx -⋅-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，关于x 的方程()f x x =、()f x kx =共有3个不同的实数解. ①先讨论方程()f x x =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x x =+=，可得0x =， 当102x <≤时，由()2f x x x ==，可得x ∈∅， 当12x >时，由()22f x x x =-=，可得23x =， 所以，方程()f x x =只有两解0x =和23x =； ②下面讨论方程()f x kx =的解的个数.当0x ≤时，由()212f x x x kx =+=可得102x x k ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得0x =或12x k =-，当102x <≤时，由()2f x x kx ==，可得2k =，此时方程()f x kx =有无数个解，不合乎题意，当12x >时，由()22f x x kx =-=可得22x k =+，因为0k >，由题意可得10221220k k k ⎧-<⎪⎪⎪≤⎨+⎪>⎪⎪⎩或10222230k k k ⎧-<⎪⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎪⎩或10221222223k k k ⎧-≥⎪⎪⎪>⎨+⎪⎪≠⎪+⎩， 解得112k ≤<或12k <<.因此，实数k 的取值范围是()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.故选：B.19．（2022·山东潍坊·模拟预测）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC内一个动点，且满足12PD PB += ）A ．1B D PB ⊥B ．点P的圆 C ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为3πD ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为32 【答案】ACD【解析】对于A 选项，连接11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111B D A C ⊥，1DD ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111AC DD ⊥，因为1111B D DD D =，11A C ∴⊥平面11B DD ，1B D ⊂平面11B DD ，111B D AC ∴⊥， 同理可证11B D A B ⊥，1111A B AC A ⋂=，1B D ∴⊥平面11ABC ， PB ⊂平面11A BC ，1PB B D ∴⊥，A 对；对于B 选项，设1B D ⋂平面11A BC E =，因为1111A B BC AC ===11111A B BB B C ==，所以，三棱锥111B A BC -为正三棱锥，因为1B E ⊥平面11A BC ，则E 为正11A BC的中心，则12sin3A B BE π==所以，1B E =13B D=，11DE B D B E ∴=-=1B D ⊥平面11A BC ，PE ⊂平面11A BC ，1PE B D ∴⊥，即1B E PE ⊥，DE PE ⊥，因为12PD PB +=2=0PE >，解得1PE =， 所以，点P 的轨迹是半径为1的圆，B 错；对于C 选项，1B E ⊥平面11A BC ，所以，1B P 与平面11A BC 所成的角为1B PE ∠，且11tan B E B PE PE ∠==102B PE π≤∠≤，故13B PE π∠=，C 对； 对于D 选项，点E 到直线1BC的距离为12BE =， 所以点P 到直线1BC1， 故1BPC的面积的最大值为3122=，因为1B E ⊥平面11A BC ，则三棱锥11B BPC -的高为1B E ， 所以，三棱锥11P BB C -体积的最大值为3132⨯D 对.故选：ACD.20．（2022·湖南常德·一模）如图所示，三棱锥P ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC PC ===，D 为线段AB 上的动点（D 不与,A B 重合），且AD PD =，则（ ）A ．PA CD ⊥B ．45DPC ∠=︒C ．存在点D ，使得PA BC ⊥ D ．三棱锥P BCD - 【答案】ABD【解析】三棱锥P ABC -中，取PA 中点E ，连接DE ，CE ，如图，因1AC BC PC ===，AD PD =，则,DE PA CE PA ⊥⊥，而DE CE E ⋂=，,DE CE ⊂平面CDE ，则有PA ⊥平面CDE ，又CD ⊂平面CDE ，所以PA CD ⊥，A 正确；因AC BC ⊥，1AC BC PC ===，则45CAB ∠=，又AD PD =，则PCD ACD ≅， 于是得45DPC CAB ∠=∠=，B 正确；假设存在点D ，使得PA BC ⊥，由选项A 知PA CD ⊥，又CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面ABC ，则PA ⊥平面ABC ，而AC ⊂平面ABC ，于是得线段AC 是平面ABC 的斜线段PC 在平面ABC 上的射影，必有PC AC >，与1AC PC ==矛盾，所以假设是错的，C 不正确；令(0PD AD x x ==<，则BD x =，令PD 与平面ABC 所成角为(0)2πθθ<≤，因此，点P 到平面ABC 的距离sin sin h PD x θθ==，而1sin )24CBDSCB DB x π=⋅， 则三棱锥P BCD -的体积21)sin sin 3BCDV Sh x θθ=⋅=≤≤当且仅当x =2πθ=时取“=”，所以当D 是AB 中点，且PD ⊥平面ABC时三棱锥P BCD -，D 正确. 故选：ABD21．（2022·福建三明·模拟预测）已知函数()()cos (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．4πϕ=-B ．f （x ）的最小正周期为2C ．将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数5cos()4y x ππ=-的图像D ．若f （x ）在区间[2，t ]上的值域为[－1，则t 的取值范围为[114，72]【答案】BD【解析】由图像可得()0cos f ϕ==2πϕ<，所以4πϕ=±又因为0x =属于()f x 的单调递减区间，0>ω，所以4πϕ=，故A 错误，因为()302f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33cos 1444f πω⎛⎫⎛⎫=⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322T T <<所以可得ωπ=，即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2T =，故B 正确，将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数()3cos 1cos()44y x x ππππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图像，故C 错误，当[]2,x t ∈时，9,444x t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若值域为⎡-⎢⎣⎦，则153,44t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，解得117,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD22．（2022·广西南宁·二模（理））已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()20c a b ⋅-=，则实数λ=______．【答案】12【解析】易得()23,6a b -=-，∵()20c a b ⋅-=，∴3160λ-⨯+=，解得12λ=．故答案为：12﹒23．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，cos (2)cos ,a B c b A a =-=D 在边BC 上，且2BD DC =，则AD的最大值是___________.【答案】1【解析】由cos (2)cos ,a B c b A a =-=sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，因为sin 0C ≠，0A π<<，所以1cos ,23A A π==，设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R，则由正弦定理得12sin 2sin 3a R A ===⨯， 如图所示，取BC 的中点M ，在t R BOM 中，221BC BM OM ====； 在t R DOM 中，DM BD BM OD =-====1AD AO OD R OD ≤+=+=+，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 的最大值是1，故答案为：1．24．（2022·广西南宁·二模（理））从①()222cos cos c B b C b c +=+；②()sinA C b +=；③()2sin b A a B =．选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题．已知ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若______． (1)求角A 的大小；(2)设4a =，b =ABC 的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】(1)若选①，因为()222cos cos c B b C b c +=+及sin sin sin a b cA B C==，得()222sin cos sin cos sin sin sin C B B C B C B C +=+，所以()222sin sin sin sin C B B C B C +=+．因为πA B C ++=，所以222sin sin sin sin A B C B C =+．所以222a b c =+．又222cos 2b c a A bc+-=，所以cos A =因为0πA <<，得π6A =．若选②，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==及()sin A C b +=，得()sin sin A C B +=，则sin sin B B =得sin tan cos A A A ==因为()0,πA ∈，所以π6A =．若选③，由()2sin b A a B =得2sin cos b a B A =． 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得2sin sin sin cos B A B B A =． 因为sin 0B >，所以sin 2A A =． 即πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为0πA <<，所以ππ32A +=得π6A =． (2)由4a =，b =sin sin b aB A =且π6A =，4πsin 6=，化简得sin B =． 因为0πB <<，则π3B =或2π3B =． 若π3B =，则π2C =，则1sin 2ABC S ab C ==△， 若2π3B =，则π6C =，则1sin 2ABCS ab C == 所以ABC的面积为25．（2022·甘肃兰州·模拟预测（文））在①5913S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =． (1)______，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2na nb =，n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【解析】(1)选①：由于()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +==所以53955193S a S a ==，又36a =，所以510a =，故()53122d a a =-=所以()332n a a n d n =+-=；选②：2a 是1a 和4a 的等比中项，则2214a a a =， 所以()()()23332d d a d a a -=-+，又36a =，解得2d =，0d =（舍去） 所以()332n a a n d n =+-=； (2)24==n a n n b ，24n n n n c a b n =+=+，则()()()22422424n n T n =++⨯++++ ()()2212444n n =+++++++ ()()22414441143n nn n n n -=++=++-- 26．（2022·河南焦作·二模（文））小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x （单位：2m ）和日均客流量y （单位：百人）的数据(),(1,2,,20)i i x y i =⋅⋅⋅，并计算得2012400i i x ==∑，201210i i y ==∑，()202142000i i x x =-=∑，()()2016300i i i x x y y =--=∑.(1)求y 关于x 的回归直线方程；(2)已知服装店每天的经济效益(0,0)W mx k m =>>，该商场现有260~150m 的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积．．．．的经济效益Z 最高，小李应该租多大面积的商铺?附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【解析】(1)由已知可得201112020i i x x ===∑，201110.520i i y y ===∑，()()()20120216300ˆ0.1542000iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ10.50.151207.5a y bx=-=-⨯=-， 所以回归直线方程为ˆ0.157.5yx =-. (2)根据题意得W Z m x ==，60150x ≤≤. 设220.157.50.157.5()x f x x x x -==-，令1t x =，1115060t ≤≤， 则22()()0.157.57.5(0.01)0.00075f x g t t t t ==-=-⨯-+， 当0.01t =，即100x =时，()f x 取最大值， 又因为k ，0m >，所以此时Z 也取最大值， 因此，小李应该租2100m 的商铺.27．．（2022·河南·模拟预测（理））已知直角梯形ABCD 如图1所示，其中//AD BC ，AD CD ⊥，E 为线段AD 的中点，12BC CD AD ==．现将DCBE 沿BE 翻折，使得AD AE =，得到的图形如图2所示，其中G 为线段BE 的中点，F 为线段DE 的中点.(1)求证：AF ⊥平面BCDE ；(2)求直线DG 与平面ABC 所成角的正弦值． 【解析】(1)由已知可知BE AE ⊥，BE DE ⊥， 而AE DE E =，∴BE ⊥平面ADE ． ∵AF ⊂平面ADE ，∴BE AF ⊥．∵AE DE AD ==，∴ADE 为等边三角形． 又点F 为DE 的中点．∴AF DE ⊥． 又BE DE E ⋂=，∴AF ⊥平面BCDE ．(2)如图，设AE 的中点为O ，AB 的中点为P ，连接DO ，PO ．∵ADE 为等边三角形，∴DO AE ⊥．∵BE ⊥平面ADE ，DO ⊂平面ADE ，∴BE DO ⊥． 又∵BE AE E =，∴DO ⊥平面ABE ，∴DO OP ⊥． ∵点O ，P 分别为AE 和AB 的中点，∴OP BE ∥，∴OP ⊥平面ADE ，∴OP EA ⊥，∴OP ，OA ，OD 两两互相垂直．以O 为坐标原点，以OP ，OA ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设1OA =，则()0,1,0A ，(D ，()0,1,0E -，()2,1,0B -，()1,1,0G -，∴()2,2,0AB =-，(BC ED ==，(1,1,DG =-． 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AB x y n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则()3,3,1n =-．3cos n DG n DG n DG⋅∴===，故直线DG 与平面ABC28．（2022·福建三明·模拟预测）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点恰好为圆A ：22430x y x +-+=的圆心，且圆A 上的点到直线1l ：0bx ay -=1． (1)求C 的方程；(2)过点（3，0）的直线2l 与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且)(OM OP OQ λ=+，弦PQλ的取值范围．【解析】(1)圆A 化为标准方程：22(2)1x y -+=，圆心(2,0)A ，半径1r =，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即2a =，圆心(2,0)A 到直线1:0l bx ay -=的距离d =∴圆A 上的点到直线1:0l bx ay -=的距离的最大值为11d r +=++，=1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)由题意可知，直线2l 的斜率一定存在，设直线2l 的方程为(3)y k x =-，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程22(3)14y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2222(14)243640k x k x k +-+-=，∴∆42225764(14)(364)16800k k k k =-+-=->，解得2105k <，∴21222414k x x k +=+，212236414k x x k -=+，()2121222246661414k ky y k x x k k k ⎛⎫-∴+=+-=⋅-= ⎪++⎝⎭， 因为PQ ==≤所以可解得218k ≥，所以21158k >≥设PQ 中点N ，所以2212(14kN k +，23)14k k -+， ∴22242(14k OP OQ ON k +==+，26)14k k -+， 222311412414ONkk k k k k -+∴==-+，∴直线ON 的方程为14y x k=-，)(OM OP OQ λ=+，M ∴为直线ON 与椭圆的交点，联立方程221414y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x =M ∴或(M，∴16(1OM =或(OM =， 222414k k λ⋅+，∴2222221624()1414k k k k λ=⋅++， 2222222161411()1424369k k k k k λ+∴=⋅=++，又21185k ≤<，2111133694k ∴≥+>， ∴13≥214λ>，12λ∴<≤12λ≤<-即实数λ的取值范围为1122⎡⎫⎛-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦29．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知函数()1ln 1xf x x x-=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)当()()()1212f x f x x x =≠时，证明：122x x +>. 【解析】(1)()()()()2222ln 112ln 111xx x x x f x x x x x x ---'=-+=+++， 令()212ln g x x x x =--，则()()22ln 22ln 1g x x x x x '=---=-++，()12221x g x xx+⎛⎫''=-+=-⎪⎝⎭； 当0x >时，()0g x ''<，()g x '∴在()0,∞+上单调递减， 又()()22e2e10g --'=-->，()140g '=-<，()20e ,1x -∴∃∈，使得()00g x '=，则当()00,x x ∈时，()0g x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()()()0max 10g x g x g ∴=>=，又当()0,1x ∈时，210x ->，2ln 0x x ->；∴当()0,1x ∈时，()0g x >，即()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<；()f x ∴的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞.(2)由（1）知：若()()()1212f x f x x x =≠，则1201x x <<<， 要证122x x +>，只需证212x x >-，1201x x <<<，121x ∴->，又()f x 在()1,+∞上单调递减，则只需证()()212f x f x <-，()()12f x f x =，则只需证()()112f x f x <-，即证()()1120f x f x --<，则需证()11111111ln ln 2013x xx x x x --+-<+-，又110x ->，∴只需证()1111ln 2ln 013x x x x -+<+-，即证()()()11113ln 1ln 20x x x x -++-<， 令()()()()()3ln 1ln 201F x x x x x x =-++-<<， 则()()31ln ln 22x x F x x x x x-+'=-++---，()()221313022F x x x x x ''=----<--， ()F x '∴在()0,1上单调递减，()()10F x F ''∴>=，()F x ∴在()0,1上单调递增，()()10F x F ∴<=， ()()()11113ln 1ln 20x x x x ∴-++-<，原不等式得证.31．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()23f x x x =-+． (1)求不等式()2f x x >+的解集；(2)若关于x 的不等式()2322f x m m ≥--恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)由题意，函数()23f x x x =-+， 不等式()2f x x >+，即为232x x x -+>+．当0x <时，322x x x -->+，解得14x <，故0x <； 当302x ≤≤时，322x x x -+>+，解得12x <，故102x ≤<； 当32x >时，232x x x -+>+，解得52x >，故52x >． 综上所述，不等式()2f x x >+的解集为1{|2x x <或5}2x >.(2)由题意，函数()33,03233,02333,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<⎪⎪=-+=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，根据一次函数的性质，可得当32x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为32， 又由不等式()2322f x m m ≥--恒成立，所以233222m m --≤，即223(3)(1)0m m x x --=-+≤，解得13m -≤≤，即m 的取值范围为[]1,3-． 32．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））已知函数()23f x x x =+-． (1)若对于任意的x ∈R ，不等式()22f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围； (2)若（1）中实数t 的最大值为0t ，正实数a ，b 满足0a b t +=，求证：1143ab+≥． 【解析】(1)当0x ≤时，得()2(3)33f x x x x =---=-+；当03x <<时，得()2(3)3f x x x x =--=+；当3x ≥时，得()2(3)33f x x x x =+-=-.所以33,0()3,0333,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图像，如图所示：显然min ()(0)3f x f ==，故不等式()22f x t t ≥-恒成立可得232t t ≥-，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，所以t 的取值范围为[]1,3-.(2)根据（1）可得03t =，即3a b +=，所以11111114()223333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当3a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 即32a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为43，即1143a b +≥.。