2021届全国开卷教育联盟新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}U 0,1,2,3,4,=，若{}A 0,2,3=,{}B 2,3,4=，则()()UU A B ⋂=( )A. ∅B. {}1C. {}0,2D. {}1,4【答案】B 【解析】因为全集{}U 0,1,2,3,4,=，所以{}14UA ，=，{}01UB =，，因此()(){}1UU A B ⋂=，选B.2.已知i 是虚数单位，a ，b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算性质，分别判断“1a b ==” ⇒ “2(i)2i a b +=”与“1a b ==” ⇐ “2(i)2i a b +=”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论． 【详解】解：当“1a b ==”时，“22()(1)2a bi i i +=+=”成立， 故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分条件；当“222()22a bi a b abi i +=-+=”时，“1a b ==”或“1a b ==-”， 故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的不必要条件；综上所述，“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件； 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．3.AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则AD =（ ）A. (2)4，B. (37)， C. (11)， D. (11)--， 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质、向量相等、向量的三角形法则和运算即可得出.【详解】由平行四边形的性质可得AD BC AC AB 1324()())1(1==----＝，，＝，. 故选：D【点睛】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了平面向量减法的坐标表示公式，考查了数学运算能力.4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是（ ）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.95【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，从中摸出一个小球是黑色和是红或白色是互斥事件，根据互斥事件的概率公式即可求解【详解】解：根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红色和白色是互斥事件， 故其概率10.30.20.5P --＝＝. 故选：B【点睛】本题考查了互斥事件概率的计算公式，考查了数学运算能力. 5.设2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则（ ） A. a b c << B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出.【详解】解：∵22log 3log 1ln 2c e a b =＞＝＞＞＝. ∴b a c ＜＜. 故选：B【点睛】本题考查了对数式和指数式的比较，考查了指数函数对数函数的单调性，考查了数学运算能力.6.如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A. 4πB. 7πC. 16πD. 28π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是一个三棱柱111ABC A B C -，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC ，侧棱长是2，求出球的半径，可得这个球的表面积.【详解】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱111ABC A B C -，该三棱柱的底面是边长为3的正三角形ABC ，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段MN 的中点O 与三棱柱的顶点A 的连线AO 就是外接球的半径，∵ABC 是边长为3的等边三角形，2MN ＝， ∴2333,13AM OM ⎛⎫=⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭， ∴这个球的半径312r +=＝， ∴这个球的表面积24216S ππ⨯＝＝， 故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原空间图形，考查了三棱柱外接球表面积的计算，考查了空间想象能力和数学运算能力.7.已知4cos5α=-，()απ∈-，，则tan2α=（）A.247B.247- C.724D.724-【答案】A【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求出tanα的值，再利用二倍角公式的正切公式，求得tan2α的值.【详解】解：∵已知4cos5α-＝，0()απ∈-，，∴)2(παπ∈--，，∴23sin3sin1cos,tan5cos4ααααα=-=-==，则232tan242tan291tan7116ααα===--，故选：A【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.8.中国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）A. 89条B. 113条C. 324条D. 445条【答案】A【解析】 【分析】利用进位制的定义可得答案.【详解】解：该图的五进制数为324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)＝4×50+2×51+3×52＝89， 故选：A【点睛】本题考查了进位制的性质，考查了数学运算能力.9.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若//,//,m n αα则//m n B. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．10.将函数()cos 222y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象，若()f x 为偶函数，则（ ）A. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦匀上单调递增C. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数平移关系求出()f x 的解析式，结合()f x 是偶函数求出ϕ，利用三角函数的单调性进行求解即可.【详解】解：将函数的图象()(=c s 22)o 2y x ππϕϕ+-＜＜向右平移38π个单位长度单位后得函数()f x 图象， 则33()cos 2cos 284f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若()f x 为偶函数，则3,4k k Z πϕπ-=∈， 即3,4k k Z πϕπ=+∈， ∵22ππϕ-<<，∴当1k -＝时，4πϕ-＝，即3()cos 2cos(2)cos 244f x x x x πππ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭， 当42x ππ-≤≤时，22x ππ-≤≤，此时()cos2f x x =-不具备单调性，故A ，B 错误，当42ππx ≤≤时，22x ππ≤≤，此时()cos2f x x =-为增函数，故D 正确， 故选：D【点睛】本题考查了余弦型函数的图象变换、性质，考查了数学运算能力.11.已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A. 2B. 42C. 6D. 210【答案】C 【解析】试题分析：直线l过圆心，所以1a =-，所以切线长2(4)14(4)216AB =-+-⨯-++=，选C.考点：切线长12.函数()()32321f x x ax a x +-++=在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围为（ ）A. (3)-∞-，B. ()3-+∞，C. (3)-∞，D. (3)+∞，【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，()f x '的一个零点为11x ＝，另一个零点为2213ax =--，且12x x ＜，由此建立关于a 的不等式，解出即可.【详解】解：2()32(32)f x x ax a '=+-+，(1)0f =，()f x '的一个零点为11x =，由韦达定理可知，()f x '的另一个零点为2213a x =--， 因为()f x 在1x ＝处取得极大值，所以()f x '在1x ＝的左侧附近大于0，右侧附近小于0， 因为二次函数()f x '是开口向上的抛物线， 所以12x x ＜，即2113a<--，解得3a -＜. 故选：A【点睛】本题考查了函数极值的定义，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.【答案】1800 【解析】试题分析：由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；801480060P ==，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；30601800⨯=． 考点：抽样方法的随机性.14.已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()()a b sinA sinB c b sinC +-+=，则A =_____.【答案】23π 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边得到222b c a bc +--＝，再利用余弦定理即可求出角A . 【详解】解：∵()()()a b sinA sinB c b sinC +-+＝，∴由正弦定理得：()()()a b a b c b c +-+＝，即222a b c bc -+＝， ∴222b c a bc +--＝，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==-， 又0()A π∈，，∴23A π＝， 故答案为：23π. 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了特殊角三角函数值，考查了数学运算能力.15.如果双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率是椭圆D ：22143x y +=离心率的倒数，那么C 的渐近线方程为_____【答案】y = 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得椭圆的离心率，再由椭圆可得双曲线的离心率，进而可得a b ，的关系，再由双曲线的方程与渐近线方程的关系求出渐近线的方程.【详解】解：由椭圆的方程可得椭圆的离心率为：2＝12，所以由题意可得双曲线的离心率为：2，即c a 2，可得223b a ＝，即b a ，所以双曲线的渐近线的方程为：by x a=±=，故答案为：y ＝.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了双曲线和椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力.16.定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数，已知在区间200]2[)(-，，上，(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧=⎨-<⎩，则()2020f ＝_____；b ＝_____.【答案】 (1). 0 (2). 1 【解析】 【分析】由定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数，得()00f ＝，由()f x 是周期为4的周期函数，得()20200f ＝，由()()4f x f x +＝和奇函数性质，得()922)0f f -＝＝，由此能求出结果.【详解】解：∵定义在R 上的奇函数()f x 又是周期为4的周期函数， ∴()()00f f --＝，解得()00f ＝， ∵()f x 是周期为4的周期函数， ∴()20200f ＝，∵()f x 周期为4的周期函数， ∴()()4f x f x +＝， ∴()()422f f --＝，∴()()22f f -＝，∵定义在R 上的奇函数()f x ， ∴()()()222f f f --＝＝， ∴()()220f f -＝＝，∵在区间200]2[)(-，，上，(),201,02ax b x f x ax x +-<⎧⎨-<⎩＝，∴21020a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得12a ＝，1b ＝. 故答案为：0，1.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇函数的性质，考查了数学运算能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ； （2）若1PA ＝，322PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为38，证明：E 为PD 的中点. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ，可得//EO PB ，再由线面平行的判定可得//PB 平面AEC ；（2）由题设33,2AD CD ==，求出ADC 的面积，结合棱锥E ACD -的体积为3求得E 到平面ABCD 的距离，再证明平面PAD ⊥平面ABCD ，过E 在平面内作EF AD ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面ABCD ，可得//EF PA ，结合PA 的长度可得E 为PD 的中点. 【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ， ∵ABCD 为矩形， ∴O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点， ∴//EO PB ，∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴//PB 平面AEC ； （2）由题设33,2AD CD ==， ∴ADC 的面积为334. ∵棱锥E ACD -的体积为38， ∴E 到平面ABCD 的距离为12. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，过E 在平面内作EF AD ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面ABCD ， 而PA ⊂平面ABCD ，于是//EF PA . ∵1PA ＝， ∴E 为PD 的中点.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理，考查了棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.18.2014年，中央和国务院办公厅印发《关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适度规模经营的意见》，要求大力发展土地流转和适度规模经营.某种粮大户2015年开始承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x 12345养护费用y(万元) 1.11.622.52.8（1）从这5年中随机抽取2年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有1年多于2万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程；（3）若该水稻收割机的购买价格是每台16万元，由(2)中的回归方程，从每台水稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满5年就淘汰，还是继续使用到满8年再淘汰？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅-⋅∑∑＝，a bx -y ＝.【答案】（1）0.7；（2）0.430.71y x =+；（3）建议使用到满8年再淘汰 【解析】 【分析】（1）利用古典概型判断即可；（2）根据线性回归方程公式1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅-⋅∑∑＝，求出b ，代入求出a ，求出线性回归方程；（3）根据(2)线性回归方程，估算满5年和满8年的平均费用，判断即可.【详解】（1）根据题意，从这5年中随机抽取2年，每台水稻收割机每年的养护费所有可能的结果有10种，1.11.6 1.12 1.()()()12.5 1.12.8 1.62()()，，，，，，，，，，1.62.5 1.6()()(2.82)2.5，，，，，，()(22.8 2.5.8)2，，，， 其中2年的养护费用不多于2万元的有3种，1.11.61.()()(12 1.62)，，，，，， 故所求概率为310.710-=； （2）根据表格的1(12345)35x =++++=，1(1.1 1.62 2.5 2.8)25y =++++=， 1221ni ii ni i x y n x yb x n x==-⋅⋅-⋅∑∑＝＝234.35320.435553-⨯⨯=-⨯，a 20.4330.71bx--⨯y ＝＝＝， 故线性回归方程为0.430.71y x +＝；（3）若满5年就淘汰，则每台水稻收割机年平均费用为10165.25+= (万元)， 若满8年淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为10160.43(678)30.7137.164.64588++⨯+++⨯=＝ (万元)，所以使用满8年的年平均费用低于使用满5年的年平均费用， 建议使用到满8年再淘汰.【点睛】本题考查了古典概型的计算公式，考查了线性回归方程的求法，考查了平均数的计算公式，考查了数学运算能力.19.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设18n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：213n T ≤＜. 【答案】（1）42n a n =-；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的中项性质可得22n a+n 换为1n +，相减变形后，运用等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得112121n b n n --+＝，运用数列的裂项相消求和，可得n T ，再由不等式的性质，即可得证.【详解】（1）{}n a 是正数组成的数列，即0n a ＞，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，可得22n a+2448n n n a a S ++＝，则2111448n n n a a S +++++＝， 相减可得2211114())88(n n n n n n n a a a a S S a ++++-+--＝＝，即为114())0(n n n n a a a a ++---＝，由即0n a ＞，可得14n n a a +-＝， 又122a +12a ＝， 则数列{}n a 为首项为2，公差为4的等差数列，可得()24142n a n n +--＝＝； （2）证明：188211(42)(42)(21)(21)2121n n n b a a n n n n n n +====-+-+-+， 则前n 项和为11111111335212121n T n n n =-+-+⋯+-=--++，由*N n ∈，可得110213n <≤+，即有2111321n ≤-<+. 则213n T ≤<. 【点睛】本题考查了等比中项和等差中项的性质，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力. 20.已知函数()ln f x x ax =-，0a >. （1）若12a =，求函数()()g x xf x =的单调区间； （2）证明：()21af x a +≤.【答案】（1）单调递减区间()0-∞，，没有递增区间；（2）见解析【解析】 【分析】（1）把12a ＝代入后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）原不等式可转化为()12f x a-，结合导数与单调性关系及(1)中结论ln x -x +1≤0可求. 【详解】（1）解：()212g x xlnx x -＝，()(01)ln h x x g x x x =+='-＞，， '1()x h x x -=，当01x ＜＜时()',0h x ＞，()g x '单调递增，当1x ＞时，()()'0x g h x '＜，单调递减， 故()()10g x g '≤'＝，故()g x 的单调递减区间()0-∞，，没有递增区间； （2）证明：1()axf x x-'=，0x ＞， 因为0a ＞， 所以当10x a ＜＜时()0f x '＞，函数()f x 单调递增，当1x a＞时，()0f x '＜，函数()f x 单调递减，故()()11f x f lna a≤--＝， 由(1)知ln 10x x -+≤，所以11ln10a a -+，即1ln 1a a-+， 所以1ln 12a a ---即()12f x a-， 因为0a ＞，所以()21af x a +≤.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了数学运算能力.21.经过抛物线C ：22(0)y px p =>焦点F 的直线与C 相交于点11()A x y ，，22()B x y ，.（1）证明：212y y p =-，2124p x x =（2）经过点A ，B 分别作C 的切线，两条切线相交于点M ，证明：()i MA MB ⊥；()ii 点M 在C 的准线上.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析，（ii ）见解析 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，联立方程组，根据韦达定理即可证明；（2）由题设AM BM ，的斜率存在，分别设为12k k ，，根据切线的性质可得11pk y ＝，同理22pk y =，(i )即可证明，(ii )分别可得直线MA MB ，的方程，根据12y y ＝，即可证明. 【详解】证明：（1） C 的焦点坐标为(02)p ，，由题设AB 不平行于x 轴，可是2p AB x my +：＝， 代入到22y px ＝可得2220y pmy p --＝， ∵222440m p p +＝＞，∴212y y p -＝，∴2221212224y y p x x p p =⋅=；（2）由题设AM BM ，的斜率存在，分别设为12k k ，，则MA 方程为2111y 2p y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x p =代入得211121022y y y p k y p k --+=， 由0∆=可得21110k y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，11p k y =，同理22p k y =，(i )由(1)可得212121p k k y y ==-， ∴MA MB ⊥， (ii ) MA的方程为112y p y x y =+，MB 的方程为222y p y x y=+， 两方程联立可得()2121212p y y y y x y y --=由题设12y y =，所以1222x p y y p==-， 因此点M 在C 的准线上.【点睛】本题考查好直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，考查了数学运算能力.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x m y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ (其中t 为参数，0m >).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρθ＝，l 被C .（1）求实数m 的值；（2）设l 与C 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(m ，求PA PB +的值. 【答案】（1）3；（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用垂径定理和点到直线的距离公式的应用求出结果.（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】（1）直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩ (其中t 为参数，0m ＞).转换为直角坐标方程为：0x y m +-=.曲线C的极坐标方程为ρθ=，转换为直角坐标方程为22(5x y +=， 由于l 被C.所以：利用垂径定理圆心到直线的距离2d =＝， 解得3m ＝.（2）直线l的参数方程3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转换为标准式为322x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，代入22(5x y +-=得到：240t -+=， 所以，124t t ＝，所以：12PA PB t t ++=＝.【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程化为普通直角坐标方程，考查了利用参数方程中参数的几何意义的应用，考查了数学运算能力. 23.设函数()13f x x a =-. （1）若2a =，解关于x 的()||113x f x -+≥不等式； （2）当1132x ≤≤时，()||13x f x x -+≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）2a ＝时，可得出411331211()233334123x x x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪-+=+<<⎨⎪⎪-⎪⎩，然后根据1()13x f x -+即可得出x 的范围，即得出原不等式的解集；（2）根据条件即可得出1x a -≤，从而得出11a x a -≤≤+，根据1132x 即可得出113112a a ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解出a 的范围即可. 【详解】（1）2a ＝时，111()|2|333x f x x x -+=-+-＝4113321123334123x xx x x x ⎧-⎪⎪⎪+<<⎨⎪⎪-⎪⎩， ∴13x时，由4113x -得，0x ≤； 123x <<时，由21133x +≥得，12x ≤＜； 2x ≥时，由4113x-得，2x ≥， 综上得，原不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥； （2）∵1132x ， ∴111()||333x f x x x a x -+=-+-， ∴1x a -≤， ∴11a x a -≤≤+，∴113112aa⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得1423a-，∴实数a的取值范围为14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了求含绝对值不等式的解法，考查了已知不等式恒成立求参数取值范围，考查了数学运算能力.。