2016届高三文科数学模拟试卷(一)第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}1A x x =≤,集合B Z =,则AB =( )A.{}0B.{}11A x x =-≤≤C.{}1,0,1-D.∅ 1.解:集合{}{}111A x x x x =≤=-≤≤,所以{}1,0,1A B =-,选C.2.设i 是虚数单位,复数111iz i-=++在复平面上所表示的点为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.解:复数121111i z i i i-=+==-++.所对应的点为(1,1)-,在第四象限,选D. 3.已知向量(,2)a m =-,(4,2)b m =-,条件p ://a b ,条件q :2m =,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.解:因为2//2802a b m m ⇔-+=⇔=±,所以p 是q 的必要不充分条件,选B.4.函数1()cos2cos 2f x x x x =的一个对称中心是( ) A.(,0)3π B.(,0)6π C.(,0)6π-D.(,0)12π-4.解:函数11()cos2cos cos22sin(2)226f x x x x x x x π===+的对称中心的横坐标满足2,6x k k Z ππ+=∈,即,212k x k Z ππ=-∈,所以(,0)12π-是它的一个对称中心,选D.5.定义运算“*”为:(0)2(0)a b ab a a b a +<⎧*=⎨≥⎩,若函数()(1)f x x x =+*,则该函数的图象大致是( )5.解:21(1)(1)()(1)2(1)x x x x f x x x x ++<-⎧=+*=⎨≥-⎩,选D.6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.3(2)2π+ B.3(4)3π+ C.3(2)6π+ D.3(2)3π+ 6.解:由三视图可知该几何体是组合体,上方是底面圆半径为1、高为3的半个圆锥,下 方是底面圆半径为1、高为2的圆柱,且圆柱的上底面与半圆锥的底面重合,所以该几何体的体积是11332(2)326πππ⨯⨯+=+,选C.7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ) A.6 B.8 C.10 D.157.解:该程序框图运行3次,各次S 的值依次是3,6,10,所以输出的结果是10,选C. 8.如图所示,为了测量某湖泊两侧,A B 间的距离,李宁同学首先选定了与,A B 不共线的一点C ,然后给出了三种测量方案:(ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ): ① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定,A B 间距离的所有方案的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.08.解:根据图形可知,,a b 可以测得,角,,A B C 也可以测得,利用测量的数据,求解,A B 两点间的距离唯一即可.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的,A B 两点间的距离;对于②直接利用余弦定理即可确定,A B 两点间的距离,选A.9.已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为32,则a =( )A.14 B.12C.1D.2 9.解:如图,平移直线2y x =-经过直线1x =与(3)y a x =-的交点(1,2)A a -时,目标函数2z x y =+取得最小值,则321(2)2a ⨯+-=,解得14a =,选A.10.已知点(,)n n A n a (n N +∈)都在函数()log a f x x =(0a >且1a ≠)的图象上,则210a a +与62a 的大小关系为( )A.21062a a a +>B.21062a a a +<C.21062a a a +=D.210a a +与62a 的大小与a 有关 10.解:由条件知log n a a n =,所以210log 2log 10log 20a a a a a +=+=,622log 6log 36a a a ==,所以210a a +与62a 的大小与a 有关,选D.11.若函数32()236f x x mx x =-+在(2,)+∞上为增函数,则实数m 的取值范围是( ) A.(,2)-∞ B.(,2]-∞ C.5(,)2-∞ D.5(,]2-∞11.解:因为2()666f x x mx '=-+,令26660x mx -+≥,则1m x x ≤+,又因为1y x x=+ 在(2,)+∞上为增函数,故当(2,)x ∈+∞时,152x x +>,故52m ≤,选D. 12.点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点,,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和圆 22(5)1x y -+=上的点,则PM PN -的最大值为( )A.8B.9C.10D.712.解:易知两圆圆心分别为双曲线的左、右焦点12(5,0),(5,0)F F -,点P 是双曲线右支上一点,由双曲线定义可得1226PF PF a -==,当1,,P M F 且2,,P N F 共线时, PM PN -有最大值,1122()()6219PM PN PF r PF r -≤+--=++=,即PM PN -的最大值为9,选B.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
13.高三某学习小组对两个相关变量收集到6组数据如表:由最小二乘法得到回归直线方程0.8211.3y x =+,发现表中有两个数据模糊不清,则这两个数据的和是________. 13.解:由表中数据可得102030405060356x +++++==,代入线性回归方程得0.823511.340y =⨯+=,39284341406m n +++++=⨯,89m n +=.14.直三棱柱111ABC A B C -的顶点在同一个球面上,13,4,AB AC AA ===,90BAC ∠=,则球的表面积为________.14.解:取11,BC B C 的中点分别是1,D D ,则由三棱柱的性质可得其外接球的球心O 在1DD 的 中点,设外接球的半径为R ,则22222549()24R AD DO =+=+=,故此球的表面积 为2449S R ππ==.15.设抛物线24x y =的焦点为F ,经过点(1,4)P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点,且点P 恰为AB 的中点,则AF BF += .15.解:设1122(,),(,)A x y B x y ,由题意知122x x +=,且2211224,4x y x y ==,两式相减整理得212121142y y x x x x -+==-,所以直线AB 的方程为14(1)2y x -=-,即270x y -+=,将27x y =-代入24x y =整理得2432490y y -+=,所以128y y +=,又由抛物线定义得12210AF BF y y +=++=.16观察下列等式:23(11)21,(21)(22)213,(31)(32)(33)2135+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯, ……,照此规律,第n 个等式可为________________________.16.解:观察规律,等号左侧第n 个等式共有n 项相乘,从1n +到n n +,等式右端是积式, 第一项是2n,后面是等差数列{}21n -的前n 项的乘积,故第n 个等式为(1)(2)()213(21)n n n n n n +⋅+⋅⋅+=⨯⨯⨯⨯-.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.已知等差数列{}n a 中,12a =-,公差3d =;数列{}n b 中,n S 为其前n 项和,满足212n n n S +=(n N +∈).(1)记11n n n c a a +=,求数列{}n c 的前n 项和n T ; (2)求证:数列{}n b 是等比数列;17.解:(1)因为12a =-,3d =,所以1(1)23(1)35n a a n d n n =+-⨯=-+-=-, 则111111()(35)(32)33532n n n c a a n n n n +===-----, 所以11111111[(1)(1)()]()324353232322(32)n nT n n n n =--+-++-=--=-----; (2)因为212n nn S +=,所以112n n S =-,1111(2)2n n S n --=-≥, 则111111111111()(2)2222222n n n n n n n n b S S n -----=-=-=-⨯=⨯≥,当1n =,11111122b S ==-=,满足上述通项公式,所以数列{}n b 是以112b =为首项, 12q =为公比的等比数列.18.(本小题满分12分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中,红、蓝两个小组均派6人参加实弹射击,其所得成绩的茎叶图如图所示.(1)根据射击数据,计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差,并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定;(2)若从蓝军6名士兵中随机抽取两人,求所抽取的两人的成绩之差不超过2的概率. 解:(1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙,则 x -甲=16(107+111+111+113+114+122)=113,x -乙=16(108+109+110+112+115+124)=113,S 2甲=16[(107-113)2+(111-113)2+(111-113)2+(113-113)2+(114-113)2+(122-113)2] =21.S 2乙=16[(108-113)2+(109-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(124-113)2] =883. 因为x -甲=x -乙,S 2甲<S 2乙,所以红军的射击成绩相对比较稳定.(2)从蓝军6名士兵中随机抽取两人,共有15种不同的取法,其成绩情况如下:(108,109),(108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110),(109,112),(109,115),(109,124),(110,112),(110,115),(110,124),(112,115),(112,124),(115,124).设A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过2”,则A 的基本事件有4种:(108,109),(108,110),(109,110),(110,112), 故所求概率为P (A )=415.19.(本题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形,侧棱P A ⊥底面ABCD , 且P A =2,E 是侧棱P A 上的动点.(1)求四棱锥P -ABCD 的体积;(2)如果E 是P A 的中点,求证PC ∥平面BDE ; (3)是否不论点E 在侧棱P A 的任何位置, 都有BD ⊥CE ?证明你的结论. 19.解:(1)∵P A ⊥平面ABCD ,∴V P -ABCD =13S 正方形ABCD ·P A =13×12×2=23.即四棱锥P -ABCD 的体积为23.(2)连接AC 交BD 于O ,连接OE .∵四边形ABCD 是正方形,∴O 是AC 的中点. 又∵E 是P A 的中点,∴PC ∥OE .∵PC ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,∴PC ∥平面BDE . (3)不论点E 在何位置,都有BD ⊥CE .证明如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC . ∵P A ⊥底面ABCD ,且BD ⊂平面ABCD ,∴BD ⊥P A . 又∵AC ∩P A =A ,∴BD ⊥平面P AC . ∵不论点E 在何位置,都有CE ⊂平面P AC . ∴不论点E 在何位置,都有BD ⊥CE .20.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,一动圆经过点(1,0)且与直线x =-1相切, 设该动圆圆心的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)已知点A (5,0),倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且与曲线E 交于M 、N 两点,求△AMN 面积的最大值,及此时直线l 的方程. 20.解:(1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x =-1的距离, 由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程:y 2=4x . (2)由题意,可设l 的方程为y =x -m ,其中0<m <5由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x -my 2=4x,消去y ,得x 2-(2m +4)x +m 2=0 ①当0<m <5时,方程①的判别式Δ=(2m +4)2-4m 2=16(1+m )>0成立. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4+2m ,x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=2|x 1-x 2|= 42+2m 又因为点A 到直线l 的距离为d =5-m2∴S △AMN =2(5-m )1+m =2m 3-9m 2+15m +25. 令f (m )=m 3-9m 2+15m +25,(0<m <5), f ′(m )=3m 2-18m +15=3(m -1)(m -5),(0<m <5) 所以函数f (m )在(0,1)上单调递增,在(1,5)上单调递减. 当m =1时,f (m )有最大值32,故当直线l 的方程为y =x -1时,△AMN 的最大面积为8 2. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=x 2+2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2,f (2))处的切线斜率为1,求实数a 的值; (2)求函数f (x )的单调区间;(3)若函数g (x )=2x +f (x )在[1,2]上是减函数,求实数a 的取值范围.21解:(1)f ′(x )=2x +2a x =2x 2+2ax .由已知f ′(2)=1,解得a =-3.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞).①当a ≥0时,f ′(x )>0,f (x )的单调递增区间为(0,+∞); ②当a <0时f ′(x )=2(x +-a )(x --a )x .当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下:f (x ) 极小值由上表可知,函数f (x )的单调递减区间是(0,-a );单调递增区间是(-a ,+∞). (3)由g (x )=2x +x 2+2a ln x ,得g ′(x )=-2x 2+2x +2ax,由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数,则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立, 即-2x 2+2x +2a x ≤0在[1,2]上恒成立.即a ≤1x -x 2在[1,2]上恒成立.令h (x )=1x -x 2,x ∈[1,2],则h ′(x )=-1x 2-2x =-(1x 2+2x )<0,∴h (x )在[1,2]上为减函数.h (x )min =h (2)=-72,∴a ≤-72,故a 的取值范围为(-∞,-72].22.(本小题满分10分)已知切线AB 与圆切于点B ,圆内有一点C 满足 AB =AC ,∠CAB 的 平分线AE 交圆于D , E ,延长EC 交圆于F ,延长DC 交圆于G ,连接FG . (1)证明:AC ∥FG ; (2)求证:EC =EG .22.证明:(1)∵AB 切圆于B ,∴AB 2=AD ·AE , 又∵AB =AC ,∴AC 2=AD ·AE , 即AC AE =ADAC,又∠CAD =∠EAC , ∴△ACD ∽△AEC ,∴∠ACD =∠AEC ,又∵∠AEC =∠DGF ,∴∠ACD =∠DGF ,∴AC ∥FG . (2)连接BD ,BE ,EG .由AB =AC ,∠BAD =∠DAC 及AD =AD , 知△ABD ≌△ACD ,同理有△ABE ≌△ACE ,∴∠BDE =∠CDE ,BE =CE . ∴BE =EG ,∴EC =EG .23.(本小题满分10分)以平面直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,已知点P 的直角坐标为(1,-5),点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4,π2,若直线l 过点P ,且倾斜角为π3,圆C以M 为圆心,4为半径.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程;(2)试判定直线l 与圆C 的位置关系.23.解:(1)直线l 的参数方程⎩⎨⎧x =1+cos π3·t ,y =-5+sin π3·t(t 为参数),则⎩⎨⎧x =1+12t ,y =-5+32t(t 为参数).M 点的直角坐标为(0,4),圆C 方程x 2+(y -4)2=16且⎩⎪⎨⎪⎧x =ρcos θ,y =ρsin θ 代入得圆C 极坐标方程ρ=8sin θ. (2)直线l 的普通方程为3x -y -5-3=0, 圆心M 到l 的距离为d =|-4-5-3|2=9+32>4.∴直线l 与圆C 相离.24.(本小题满分10分)已知函数f (x )=|x -2|+|x +1|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥4-x ;(2)设a ,b ∈{y |y =f (x )},试比较2(a +b )与ab +4的大小. 24.解:(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +1 (x <-1),3 (-1≤x ≤2),2x -1 (x >2).由f (x )≥4-x ,得⎩⎪⎨⎪⎧x <-1,-2x +1≥4-x或⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤2,3≥4-x 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,2x -1≥4-x ,∴x ≤-3或1≤x ≤2或x >2. 所以不等式的解集为(-∞,-3]∪[1,+∞). (2)由(1)已知f (x )≥3,所以a ≥3,b ≥3,由于2(a +b )-(ab +4)=2a -ab +2b -4=a (2-b )+2(b -2)=(a -2)(2-b ),由于a ≥3,b ≥3, 所以a -2>0,2-b <0.所以(a -2)(2-b )<0,所以2(a +b )<ab +4.。