平面向量基本定理与三角形四心已知0是 ABC 内的一点，BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证:S A ?0A S B ?0B S C ?0C 00D罟0B 誥0C0DS B0D S C0D S B0D S C0D S A0AS B0AE OAS B0AS C0AS BS C0D S BS CS A ?0A S B ?0B S C ?0C 0推论o 是ABC 内的一点，且x ?0A y ?0B z ?0c 0，则S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则BD DCS A BD S B0D S ABD S B0DS ACD S C0DSACDS C0DS CS鱼 0B 生 0C S B S C SBS C0AoAS BS BS CS B S C0B二0C有此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0是SABC的内心BOC :S COA :S AOB■a:b:c a ?OA b?oB c?oC 00是ABC的外心S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0O是ABC的垂心S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanCtan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0tanA 竺,tanBAD CDDBtan A: tanB DB: ADS BOC : S COA DB: ADS BOC : S COA tan A:tan B同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC奔驰定理是三角形四心向量式的完美统证明：如图0为三角形的垂心,X一•知识梳理:四心的概念介绍：UUUT UUU UUU UL11T OP OA (AB AC),A .重点B .外心 C.内心 D .垂心 €( 0, +x )),则动点P 的轨迹一定通过厶ABC 的()A .内心B .重心 C.外心D .垂心4.2三角形“四心”的相关向量问题(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成⑵ 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； ⑶ 内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)(4)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)与"重心”有关的向量问题1已知G 是△ ABC 所在平面上的一点，A. 重点 B .外心 C.内心2 : 1；，角平分线上的任意点到角两边的距离相，外心到三角形各顶点的距离相等。

uuu ULUT UULT若GA GB GC 0,则G 是厶ABC 的()D .垂心O图⑵2已知O 是平面上一定点， A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(0,)，贝U P 的轨迹一定通过 △ ABC 的().UJU UUU ULUT 【解析】由题意 AP (AB AC)，当UUU UULT(0, )时，由于 (AB AC)表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过 △ ABC 的重心，如图⑵3 .0是厶ABC 所在平面内一点，动点P 满足匚J.'. - ■■AC |AC|sinC如图⑴.解：作出如图的图形 AD 丄BC,由于|!g|sinB=|疋|sinC=AD •••解亦入（一）転岛（乔丘）|AB|sinB |AC|£inC1^1由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过厶ABC 的重心 故选：B.与“垂心”有关的向量问题A .重点B. 外心C. 内心D. 垂心A .重点B .外心C.内心D . 垂心uur uuu uuru ur uur un uu uuuuuu 【解析】由PA PB PB PC ,得 PB (PA PC) 0 , 即卩 PBCA uuu uuu uur uuu3 P 是厶ABC 所在平面上一点，若 PA PBPB PC PA 丄BC •••• P 是厶ABC 的垂心•如图⑶.uiu uun0 ,所以PB 丄CA •同 理可证PC 丄AB , BC 图⑶4已知0是平面上一定点，A, B,uii OP uui OAuur ACuuu -------■uu AB cosB ACcosC uu u AB , （0,）,则动点P 的轨迹一定通过△ABCuuu 【解析】由题意APimr AC --AB cosBACuu u AB cosCPC PA ，则 P 是△ ABC 的（）由于 -uuu -------uuu -------AB cosB AC cosCuuurAC uuu AB uu u BC- -AB cosB AC cosC BC 的直线上, uiur uuu AC BC uuu uuu 即 AB BC uuu u BC uuu r CBuuu uuu 0,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于 所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心，如图⑷. 5若H ABC 所在平面内一点，且 iuir 2 uu 2 iuui 2 uu 2 uiur 2 uui HA BC HB CA HC AB2 则点H 是厶ABC 的（） A .重点 B .外心 C. 内心D .垂心证明：Q HA HB CA BC(HA HB)?BA (CA 得(HA HB CA 即（HC HC)?BA CB)?BA CB)?BA 0 HC0 AB 同理AC HB, BCHA,故H 是A ABC 的垂心 与“内心”有关的向量问题 6已知I 为△ ABC 所在平面上的一点 ,且AB AC b , BC a .若uu urnr alA bIB cIC 0，则 I 是厶 ABC 的( .A .重点 B .外心 C.内心 D .垂心图⑸图⑹【解析】UU ••• IB UU IA uuu AB ， ur C UU IA irnrAC ， 则由题意得（aUU b c)IA uuu bAB uuu cAC 0，uuu uuurUU uuur uiur uuu uu ujur uiur uuu AB AC -bABcAC AC AB AB ACACAB 鎚 /YX-Z 1 ■ II W .UUUI | ，AB ACuurAC uuu UULff uur 分别为AB 和AC 方向上的单位向量, ACuir••• AI 与/ BAC 平分线共线，即 AI 平分同理可证：BI 平分 ABC ，CI 平分 ACB •从而I 是厶ABC 的内心，如图⑸()•A .重点B .外心C.内心 D .垂心uuu uuir uurbe AB AC AIi ■ 1 ■ II IT ■a b cABACuuu AB 匕 uur-与ABBAC •7已知0是平面上一定点,A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP 0A(0,），则动点 P 的轨迹一定通过 △ ABC 的uuu【解析】由题意得 APuuu uuir 线所在直线方向的向量，故动点AB AB ACuuir AC，•当 P 的轨迹一定通过 uuu（0, ）时，AP 表示 BAC 的平分△ ABC 的内心，如图⑹在 △ ABC 所 在 的BC1B|I BA I)=oc<- CA CB则O 是厶ABCA .垂心B .重心 C.内心 D .外心二一的模等于1，因而向量一 是单位向量 I a I I 3 IAB AC8 若的（ ）AB•••由向量」丄—为邻边构成的四边形是菱形,|AC| \^\预•（竺 蛙）二0|AC| |AB|可得AO 在/ BAC 的平分线上同理可得OB 平分/ ABC, OA 平分/ ACB • O 是厶ABC 的内心. 故选：C.与“外心”有关的向量问题ujuu uumr 8已知O 是△ ABC 所在平面上一点，若 OA OB 2 D .垂心uuu 2 UUU 2 uuir 2uu 2uuu 2uur 2uu uuu 【解析】若OA OB OC ，则 OAOBOC ，… OAOB图⑺uuirOC ，则O 是△ ABC 的外心，如图⑺。

uuuLrOC 2，则O 是厶ABC 的已知O 是平面上的一定点， A, B, C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足uuu uuirUUL OB OC OP2uuu AB uuur ------ AB cosBuuuAC UUU ------ AC cosC （0， ），则动点P 的轨迹一定通过A .重点B .外心 C.内心C△ ABC 的()°A.重点B.外心C.内心D.垂心uuu uuur uiur uuurOB OC , _ ,... AB AC【解析】由于过BC的中点，当（0,）时，--表2 AB cosB AC c osC uuu示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。

），所以P在BC垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过△ABC的外心，如图⑻四心的相互关系1•三角形外心与垂心的向量关系及应用设△ ABC的外心为O ,则点H ABC的垂心的充要条件是luiuiOHuuOAuuuOBuurOC °2•三角形外心与重心的向量关系及应用设△ ABC的外心为O，则点G为△ ABC的重心的充要条件是uurOG1 uuu-(OA3uuurOBuuurOC )3•三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设厶ABC的外心、重心、垂心分别为0、G、H，则0、G、H三点共线（0、G、H1三点连线称为欧拉线），且OG -GH。

2相关题目10.设△ ABC外心为O,重心为G.取点H,使F丨「■ I.求证：（1）H是厶ABC的垂心；（2）O, G, H 三点共线，且OG: GH=1: 2.【解答】证明：（1厂.上ABC外心为O,/.||OA|=|5B|=|CE|又I/.B-1 ：-1'- I'■ I :'则二匸=门；7? ?.匚工=・’ ■- =0即AH丄BC同理BH丄AC, CH丄AB即H是厶ABC的垂心；(2)v G为厶ABC的重心1■ '' ■: | 「I「=3 I ；il' ii -^'i+ :l=n 即1=3( J即O, G, H三点共线，且OH=3OG即O, G, H三点共线，且OG GH=1: 2。