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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
A x1 C x2
l
FS
+
b l
F
－
Fab
M
l
+
FB (3)根据方程画内力图
B
FS
(
x1
)
b l
F a
FS(x2 ) l F
Fy 0 ,
MD
a
MO 0 ,
Fy 0 , FA qa FS 0 ,
FA
FS FA qa
a
2 qa qa 3
1 qa 3
MO
0,
FA
2a
1 2
qa2
M
0,
q
FS
MD a
M
FA
2a
1 2
qa2
2 qa 2a 1 qa2 5 qa2
3
2
6
剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。
x
a l
F
M
(x1)
b l
Fx1
M
(x2 )
a l
F (l
x2 )
x10 , M 0
x1a
,
M
Fab l
x
x2 a
,
M
Fab l
x2 l , M 0
FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab l
M图
+
FBБайду номын сангаас
B
(4)内力图特征
在集中力作用的
地方，剪力图有突变，
外力F向下，剪力图
向下变，变化值=F 值；
a l
F
弯矩图有折角。
[例] 求梁的内力方程并画出内力图。（集中力偶）
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS
(x1)
FA
Me l
M (x1)
FAx1
Me l
x1
FB 解：(1)求支座反力
B
FA
Me l
FB
Me l
CB段：
FS (x2 ) FB
Me l
M (x2) FB (l x2)
2F a 2
3 2
Fa
叠加原理 几个载荷共同作用下的内力=各载 荷单独作用的内力之和。
[例2] 求D截面上的内力。
FA
q
FB
A
B
C
D
a
a
a
解：MB 0
,
3FA a 2qa2 0
,
FA
2 3
qa
Fy 0
,
FA FB 2qa 0
,
FB
4 qa 3
,
截面法求D截面内力：
取左段：
FA a
q
FS
M
(x2
)
M l
e
(l
x2
)
x10 , M 0
x
x1a
,
M
a l
M
e
x2 a
,
M
b l
Me
x2 l , M 0
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
(4)内力图特征
Me
l
在集中力偶作用
x
的地方，剪力图无突
变；弯矩图有突变，
Me逆时针转，弯矩 图向下变，变化值
=Me值。 x
（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。
左顺右逆为正
可以装水为正
M
M
M
MM
M
(+)
(+)
M
M
M
(–)
MM
(–)
M
§4-3 剪力和弯矩
FAy FAy
FSE ME
例1
解： 1. 确定支反力
Fy 0
FAy FBy 2F
MA 0
FBy 3a Fa 2F a
FBy
FBy
F 3
5F FAy 3
x
试求任意截面上的弯矩和剪力。
l
解：任选一截面x
q
M x
x
FS x＝qx
0 x l
M x＝qx2 / 2 0 x l
FS
FS x
ql 剪力方程和弯矩方程。
根据方程画出剪力图和弯矩图
x
M
ql 2 / 2
ql 2 / 8
由剪力图、弯矩图可见,最大剪力 和弯矩分别为
FS max＝ql M max＝ql 2 / 2
• §4-1 • §4-2 • §4-3 • §4-4 • §4-5 • §4-6
弯曲的概念和实例 受弯杆件的简化 剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 平面曲杆的弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例
一、弯曲的概念 受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。 变形特点：轴线变成了曲线。
FS
(
x1
)
qa 2
FS
(
x2
)
qa 2
q(
x2
a)
x
x2 a
,
FS
qa 2
－
3qa
x2 3a
,
FS
3 qa 2
2
x
A x1 B x2
a
F
qa 2
FS
qa
2+
M
qa 2
2
q
C 2a
M
(
x1
)
1 2
qax1
M
(x2
)
1 2
qax2
1 2
q(x2
a)2
x －
3qa 2
x
qa 2 2
x1 0 , M 0
[例] 求梁的内力方程并画出内力图。（均布载荷）
FA
q
FB
A
B
x
a
解：(1)求支座反力
qa FA FB 2
(2)写出内力方程
FS
(
x)
FA
qx
qa 2
qx
M (x)
FAx
1 2
qx2
1qax 1qx2 22
FA
q
A
x a
FS
qa
2+
M
FB （3）根据方程画内力图
B
x －
qa
FS (x)
qa 2
轴线
F1
F2
C
纵向对称面
非对称弯曲
若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但 外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。
C
下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。
§4-2 受弯杆件的简化
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于 分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。
FSE FBy 3
Mo 0
ME
FBy
3a 2
Fa
3Fa ME 2
§4-3 剪力和弯矩
F
5F
FBy 3 FAy 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
FSE
5F 3
2F
F 3
FSE
§4-3 剪力和弯矩
FAy FAy
O ME 2F
O ME
FBy
F 3
FAy
5F 3
FBy
ME
5F 3a 32
x
【例】 求梁的内力方程并画出内力图。（集中力）
FA a F