13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
所以：DV DFi i
DV DFi
i
DFi 0
V Fi
i
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于定理
举例
F
A
L wA=？
B
功能原理
1:
V
L (Fx)2 dx F 2L3 0 2EI 6EI
W
1 2
FwA
FL3 V W wA 3EI
卡式定理
V F
FL3 3EI
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( x )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx
l 2GIp (x)
M 2(x) dx
l 2EI (x)
kFs2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
求自由端B的挠度。
F
A
B
l
x
W
1 2
F
wB
解： M (x) -F x
V
l
M 2 (x) dx 2EI
F 2l3 6EI
由V W，得
wB
Fl 3 3EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) Me Fx
应用 叠加原理 的条件
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有 刚体位移。 即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件应变能计算
1、拉压
P=FN 静载P P
l
Dl
q(x)
P
加载过程中始终有 P
P Dl FN l
EA
外力功 W 1 PDl
2
Dl Dl
应变能
V
1 PDl 2
1.能量法定义：
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移。
能量法的特点
能量法是求位移的普遍方法
1．解题简单、适用性广；
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性 问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
若F1 = F2 ，则得 12 21
位移互等定理
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
（反力互等定理， 反力位移互等定理）
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同（量 纲对应）。 （3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
变形能的增加量：
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
略去二阶小量，则：
DV F1D1 F2D 2 Fi Di
如果把原有诸力看成第一组力，把 DFi 看作第二组力，根据互等
定理：
DFii F1D1 F2D 2 Fi Di
内力2 l 2刚度
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值；
（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能 简单叠加。
同种类型荷载的变形能不能简单叠加。
1） F1, F2 共同作用下：
V
(F1 F2 )2 L 2EA
F12 L 2EA
F2 2 L 2EA
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
（b） 扭转
δi
Vε Fi
Fi
T 2( x)dx 2GIp
T ( x) T ( x)dx GIp Fi
GI p
me 静载
外力功
1 W 2 me
应变能
1
1
V
2
me
T 2
T 2l 2GI P
当扭矩随截面位置变化时
T 2( x )dx
V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m
l
m
加载过程中始终有 m
m 静载 外力功 应变能
Ml
EI
W 1 M
2
1 V 2 M
M 2l
2EI
横力弯曲 M=M(x)
F1F2 L EA
2） F1单独作用下：
V1
F12 L 2EA
3）F2 单独作用下：
V 2
F22 L 2EA
V1 V 2 V 证毕。
L
F1 F2
L F1
L F2
（4）线弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e A
F 2L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
功能原理求图示悬臂梁中点B处的转角θB 。
思考：求上图悬臂梁中点C处的铅垂位移 DC。
基本概念
12
F1
11
21
F2
12
22
i j
荷载作用点
•位移发生点
F1
F2
F1
F2
11
21
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功：
V
1 2
F111
1 2
F2 22
F112
先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
V
1 2
F2 22