福州大学环境与资源学院环境系统分析课件
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数据输入
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2.4 模型的检验与误差分析

一、图形表示法
a.结果直观 b.不易比较（定量）
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模型 应用
观测数据组Ⅱ
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例 十二胺降解实验数据曲线拟合

十二胺降解实验数据如表所示，使用Excel 工作表进 行曲线拟合。

十二胺降解实验数据
解：在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指 数模型，拟合结果如图所示。指数模型又分别指定和 不指定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L。注意在图中 有个选项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、 R2 ，或者需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函 数点，均在选项页进行操作。
环境系统分析
主讲: 潘文斌 博士 2009.9.15
第二章

数学模型概述
2.1
数学模型的定义，优点和分类
2.2 数学模型的建立 2.2.1 对模型的基本要求 2.2.2 建立数学模型的过程

2.3 参数估计方法 2.3.1 主要参数估值方法 2.3.2 用Excel进行参数估计 2.4 模型的检验与误差分析
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最优化方法

1、给定模型 2、目标函数定义为：
3、目标函数初值
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最优化方法

4、计算步骤
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最优化方法

4、具体计算步骤
2.5模型灵敏度分析 2.6模型的不确定分析
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2.1.1 数学模型的定义
定义:根据观察到的现象，归结成一套反映 其数量关系的数学关系式与算法，用以 描述对象的运动规律，这套公式和算法 称为数学模型。
广义的数学模型既包括由数学符号组成 的数学公式，也包括用框图或文字表达 的计算方法和计算过程。
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三、目标对约束的灵敏度 案例
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三、目标对约束的灵敏度 案例解答
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练习

已知污水处理费用函数为C＝260×Q0.78 （元），式中Q为污水的处理规模 （m3/d），若已知污水量的估计偏差在 ±6％，求费用估计的偏差。
原值x*或者Z*的变化率和参数θ相对于θ0的变化率的比值 称为状态变量（或目标）对参数的灵敏度。 1、单变量时的灵敏度
定义：在θ＝ θ0附近，状态变量x（或目标Z）对于
x* f (0 )
Z * F (0 )
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2.5 模型灵敏度分析
2.3.1 主要参数估值方法
一、基于回归拟合的方法 1、图解法 2、一元线性回归 3、多元线性回归 二、基于试验或经验的方法
1、试验法
2、经验公式法
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2.3.1 主要参数估值方法
三、基于搜索的方法 1、网格法 2、最优化方法 3、随机采样法（基于贝叶斯理论的不确定 性参数识别，1、RSA方法 2、GLUE法）
一、状态与目标对参数的灵敏度
1、单变量时的灵敏度
x x 0 状态对参数的灵敏度 S x * / ( ) x * 0
x
目标对参数的灵敏度
SZ
Z Z / ( ) 0 Z * 0 Z *
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2.4 模型的检验与误差分析

二、相关系数法
a.结果直观 b.适用线性程度较高的模型
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2.4 模型的检验与误差分析

三、相对误差法
相对 误差
yi yi ' ei yi
中值 误差 概率 e0.5 0.6745 中值 误差 绝对 e0.5 ' 0.6745
约束条件 X状态变量组成的向量，如大气中二氧化硫浓度；u为决 策变量组成的向量，如排放的BOD等；θ为模型参数变 量组成的向量，如大气复氧系数ka等。
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min Z f ( x, u, ) G( x, u, ) 0
目标函数
2.5 模型灵敏度分析

c cs (cs c0 )e

ka x ux
k d L0 (e ka kd

kd x ux
e

ka x ux
)
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在“工具”菜单中，单击“数据分析”命令。如果“数据分 析”命令没有出现在“工具”菜单中，则需要通过加载宏安 装“分析工具库”，与此同时也将“规划求解”安装备用。
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解答
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2.6模型的不确定分析

不确定性分析，通俗而言就是误差分析；分析 由于系统外部输入的不确定性和环境机理认识 的不确定性导致的模型结构 不确定性、参数识 别不确定性和预测未来的不确定性。 不确定性的分类：
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2.5 模型灵敏度分析
一、状态与目标对参数的灵敏度
1、单变量时的灵敏度案例
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1、单变量时的灵敏度案例
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2、多变量时的灵敏度
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例 十二胺降解实验数据曲线拟合

从获得的三个数学模型来看，指数模型 y 2.16e 0.0519 t 与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%（R2=0.9726）, 应是较好的选择。
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1、设定参数初值和允许迭代误差 2、计算目标函数初值 3、计算目标函数对参数的梯度（数值导数） 4、计算参数的修正步长 5、计算参数的修正值 6、计算新的目标函数值 7、比较新旧目标函数值，如果不合要求继续迭代， 至获得满意结果。 2009.9.15.
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最优化方法
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2.1.3 数学模型与实际偏离的原因
1、环境系统是一个开发性的复杂系统，结 构和参数均存在一定的不确定性； 2、模型结构与实际系统的差异；
3、模型参数不一定能反映实际系统运动过 程中变量的特征；
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2.1.4 模型的分类
数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图； 计算机程序模型 : 计算程序 ,模 拟程序 实物模型 :( 实物放大缩小，如 建筑模型，风洞实验模型)

i 1
n
n
y i yi ' yi n 1
2
2 y y ' i i i 1
n 1
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2.5 模型灵敏度分析
一、灵敏度分析的意义 由于环境保护系统是一个开放的系统, 运用数学模型 进行模拟时,模型结构和参数都会存在偏差.通过对模型灵 敏度分析，可以计算模型计算结果的偏差，又有利于根 据需要探讨建立高灵敏度模型或是低灵敏度模型。
2.5 模型灵敏度分析
一、状态与目标对参数的灵敏度
1、单变量时的灵敏度
当 0 时，可以忽略高阶微分项，得： 0 dx 0 dZ x z S ( ) 0 S ( ) 0 d x* d Z*
dx dZ ( ) 0 和 ( ) d d
0
分别是状态变量和目标函数对 参数的一阶灵敏度系数。
一、灵敏度分析的意义 在环境保护系统中，主要研究两种灵敏度： 1、状态与目标对参数的灵敏度，即研究参数的 变化对状态变量和目标值产生的影响；
2、目标对状态的灵敏度，即研究由于状态变量 的变化对目标值的影响。
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2.5 模型灵敏度分析
一、状态与目标对参数的灵敏度
特征：抽象性和局限性
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2.1.2 数学模型的优点
1、由于抽象性，其可以进行多变量模拟；
2、参数可变，结构可调，有利于控制优化 条件； 3、较实物模型或物理模型具有速度快，费 用低的特点；
4、具备更多的模型不确定性的分析功能。
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2、多变量时的灵敏度
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三、目标对约束的灵敏度
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