X(km)
08
28 36 56
DO(mg/l) 10.0 8.5 7.0 6.1 7.2
若起点的BOD（L0）为20mg/l，饱和溶解氧 （Cs）为10.0mg/l，河流平均流速为
Ux=4.0km/h,由S-P模型可知河流溶解氧的
变化规律符合下述方程:
试确定其中的耗氧速度常数Kd和得氧速度 常数Ka。 解：首先，建立目标函数
1、图形表示法
观测值为横坐标，计算值为纵坐标，据 各自变量可得上面相应的两值。
由于环境系统问题的复杂性，对于大系 统，有的文献认为，对于观测值和计算值在 2倍误差范围内都认为满意。
2、相关系数法 统计学上衡量曲线拟合程度的量。
y和y'分别为观测值和计算值的平均 值。r越大相关关系越好（0≤ r ≤1）。
5、网格法
假定有n个等定参数，且已知各参数 的取值范围，把各搜索区间（取值范围 ）分成若干个等分，则参数空间
θ=(θ1, θ2,…, θn)T就被划分成若干网格， 计算所有网格顶点上的目标函数值，并 取其中最小的值所对应的参数值作为最 优估计值。
若精度还不够，则可再分细些。
6、经验公式计算法 如：河流的复氧速度常数，大气扩散方程中
以二元为例
4、最优化估值方法 函数一般式 ： 建立目标函数：
使其最小（ Z min）。 对一个连续可微的目标函数可采用最速下 降法（一阶梯度法）。
梯度法的步骤如下： 第一步:设θ1,θ2, …,θm的初值为 θ 1°,θ 2 °, …θm
°, 允许迭代误差为ℇ.
第二步：计算目标函数的初值
第三步：计算目标函数对参数的梯度。
状态变量对参数的灵敏度为：
目标函数对参数的灵敏度为： 式中△x = x ―x* △z = z―z*
△ θ = θ ― θ0 当 △ θ 0时，忽略高阶微分项得：
例：已知某河段的BOD 降解规律可用下式 表示：
L = L0 e-Kdt
若已知河段初始的BOD浓度L0 =15mg/l, BOD衰减速度常数 Kdd时的BOD值及 其变化幅度。
三、数学模型的灵敏度分析
由于环境系统是一个开放性系统，各 种影响非常复杂，很难精确定量，各种数 学模型存在着不确定性（有许多假设）， 模型中的参数也有误差，因此，利用模型 进行的模拟和规划的真实性，可靠性究竟 如何，如何对此做出估计，换言之，状态 变量对参数的灵敏度如何，目标函数对参 数的灵敏度如何以及目标函数对状态变量 的灵敏度如何，需进行分析。
灵敏度分析可以估计模型计算结果的 偏差，且还有助于建立低灵敏度系统，（ 这种系统在运行上比较可靠），有助于确 定合理的设计裕量，这比盲目给定安全系 数要合理得多。
（希望是低灵敏度高预测精度的模型）
误差分析是直接验证模型计算结果与实 测值的差异，针对一些零散值而作的，而 灵敏度分析是从另一角度考虑该模型参数 的误差大小对状态变量所引起的计算误差 和对目标函数所引起的误差的一种敏感程 度。
第七步 ，比较Z1和Z0
若
，则停止运算，并输出参数
的估计值θi1 （i=1,2……n）
否则令
返回第三步 。
若以相对误差表示则可取
|(Z1-Z0)/Z1| ≤ε
否则计算的允许选代误差（也称截断 误差）要视目标函数的绝对值大小而定。 用最优化方法估值时，要由经验给定参数 的初值。
例：已知河流沿程的溶解氧（DO）的测定 数据如下：
1．双曲线函数
2．指数函数 y = A ebx 式中A＞0 ln y = ln A+ b x
令 Y= ln y , a = ln A , X = x 则 Y= a +b X
y = A eb/x 式中A＞0 ln y = ln A+ b /x 令 Y= ln y , a = ln A , X = 1/x 则 Y= a +b X 3．对数函数 y = a + b lnx 令 Y= y , X = ln x 则 Y= a +b X
4.幂函数
y=AXb
(A＞0)
lny=lnA+blnx
令 Y= ln y , a = ln A , X = ln x
则 Y= a +b X
5. S曲线
y= 1/ (a+be-x ) ,
1/y=a+be-x
令Y= 1/y , X= e-x , 则 Y= a +b X
值得注意的是，广义线性函数的剩 余平方和、剩余标准差和相关系数应以 原y模式求。
还有一些广义线性函数，不再列举。 可按此思路处理。
下面仅介绍一下状态变量和参数的 数目都是1时的灵敏度分析。
若决策变量（污染物排放量等）保 持不变，则状态变量x和目标Z均可表示 为参数θ的函数：
x* = f (θ0) , Z* = f (θ0)
x*和Z*分别表示参数θ取θ0值的状态 变量值和目标函数值。
灵敏度的定义为：
在θ=θ0附近，状态变量（或目标）相 对于原值的变化率和参数 θ相对于 θ0的变 化率的比值称为状态变量（或目标函数 ）对参数的灵敏度，即：
一、 模型参数的估值方法
有经验公式，图解法，最小二乘法和最优化 方法等估值方法
除经验公式外，其余方法均是利用系统输入 输出数据和数学模型本身确定合理的参数数 值。
1、 图解法
对经适当处理后以转换为直线的公式，均 可用图解法估计参数，其误差取决于点位的 精度和绘制直线的精度。
2、一元线性回归分析法
的方差等。除经验公式计算法外，其余方 法均应有自度量和因变量的实测输入输出 数据，注意使用条件，范围。
二、模型的验证与误差分析 在模型建立且参数估值之后，还应对
模型进行验证和误差分析方可投入应用。
验证所用的数据应与参数估值时所用数 据独立，以模型的计算结果和实测数据之间 的吻合程度来判断。
常用方法：
在函数的形式比较复杂，不易求得梯度 的解析式时，可以计算其数值梯度.
第四步：计算参数修正步长λ
二阶梯度矩阵 H（ θ °）亦称海森矩阵 。
对于复杂的数学表达式，海森矩阵的 解析值很难计算，可以数值梯度来近似 的解析值。
对于海森矩阵的对角元素：
对于非对角元素：
第五步：计算参数θi的修正值 θi1 第六步，计算新的目标函数值Z1
环境系统分析PPT第8讲
2020年5月26日星期二
第四章 数学模型的参数估计及灵敏度分析
前章所述的一些解析模型常用于环境质量的 模拟预测和控制规划
一维解析模型广泛地用于各种河流的水质模 拟和预测中
三维解析模型在大气质量的预测中普通采用
在流动均匀稳定的条件下，二维解析模型可 用来模拟河流的水质
在模型具体应用时，必须首先对模型中的参 数进行估值和进行灵敏度的分析。
亦称最小二乘法
该法有两个假定：
①所有自变量的值均不存在误差，因变量的 值则含有测量误差；
②与各测量点拟合最好的直线为能使各点到 直线的竖向偏差（因变量偏差）的平方和 最小的直线。
偏差的平方和最小意味着各个点的偏 差均很小。 最佳的b和m的估计值：（y=mx+b） 由
3、多元线性回归分析 （原理相同）
解：Kd0=0.1d-1时t=2d的BOD浓度为：
L* = L0 e-Kd0t=15 e-0.1× 2=12.28mg/l
BOD对Kd的一阶灵敏度系数为： BOD对kd的灵敏度为：
已知： △ Kd/ Kd0=± 10%，所以BOD的变化 幅度为：
变化与Kd的变化方向相反。 因为2%＜10%, 所以属低灵敏度模型。
通常采用中值误差（累积频率为50%） 作为衡量模型精确度的度量。
中值误差与统计学上的概率误差是一致的。
中值误差可从误差分布的累积曲线上 求出，也可按下式计算：
常用e0..5的10%作为水质模型验证标 准，还有用绝对中值误差的。(公式分母 中yi去掉)
利用相关系数、相对中值误差和绝 对中值误差等验证方法还可验证所用参 数估值方法哪种效果更好些。
当对y=α+βy‘+ε作回归分析证明 α=0和β=1时用相关系数验证才有实际 意义。ε表示计算值y和实测值y’之间 的误差。
3、相对误差法
ei=∣yi-yi ∣ /yi
n组观测值与相应计算值数据可得n 个误差值，将这n个误差值从小到大排列 ，可以求得小于某一误差值的误差的出 现频率以及累积频率为10%、50%和90%的 误差。
用一阶梯度法，据前述的七步，编制计 算机程序，给定初值，K0d=1.0d-1=0.042h-1 ，K0a=2.0d-1=0.083h-1 当目标Z=0.4681时， 得到参数的最优估计值:
Kd=0.053 h-1=1.27 d-1
Ka=0.19 h-1=4.67 d-1。（ℇ取的是0.0001） 。