第八章 组合变形构件的强度8．1概 述到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。

而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。

例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。

又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。

载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。

这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。

在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。

由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。

因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。

其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。

当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。

本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。

8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。

图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。

在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。

载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。

例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。

轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。

由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。

现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。

设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角ϕ。

将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)：ϕcos P P x = ϕsin P P y =其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横截面上的轴力x P N =。

因此，杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力，其值为AN ='σ 正应力'σ在横截面上均匀分布，如图8—5c 所示。

分力y P 为垂直于杆轴线的横向外力，在此力的单独作用下，杆将在Oxy 平面内发生平面弯曲，任一横截面的弯矩为)(x l P M y -= 此时在横截面上任一点K 的弯曲应力为ZI My=''σ ''σ沿截面高度方向的变化规律，如图8—5d 所示。

由此可见，这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。

设在外力作用下杆件的变形很小，这时可应用叠加原理，将拉伸正应力'σ与弯曲正应力''σ按代数值叠加后，得到横截面上的总应力为IMyA N +=+='''σσσ ( 8—1 ) 设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力，则总应力σ沿截面高度方向的变化规律如图8—5e(或8—5f)所示。

由于在固定端处横截面上的弯矩最大，因此，该截面为危险截面。

从图8—5e 可知，构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。

在下边缘处由于'σ和''σ均为拉应力，故总应力为两者之和，由此得最大拉应力为Zt W M A N maxmax +=σ ( 8—2 ) 在上边缘，由于'σ为拉应力，而''σ为压应力，．故总应力为两者之差，由此得最大压应力为Zc W M A N max max -=σ ( 8—3 ) 上两式中的m ax M 为危险截面处的弯矩；。

Z W 为抗弯截面系数。

得到了危险点处的总应力后，即可根据材料的许用应力建立强度条件： []t Z t W M A N σσ≤+=maxmax （ 8—4 ） []c Zc W M A N σσ≤-=maxmax （ 8—5 ） 式中[]t σ和[]c σ分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。

一般情况下，对于抗拉与抗压能力不相等的材料，如铸铁和混凝土等，需用以上两式分别校核构件的强度；对于抗拉与抗压能力相等的材料，如低碳钢，则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。

对于偏心拉伸的杆件，上述公式仍然成立，只须将式中的最大弯矩m ax M 改为因载荷偏心而产生的弯矩Pe M =即可。

若外力P 的轴向分力x P 为压力或偏心压缩时，上述公式中的第一项AN则应取负号。

还应指出，在上面的分析中，对于受横向力作用的杆件，横截面上除有正应力外，还有因剪力而产生的切应力，必要时还需考虑切应力的强度。

例8—1 悬臂吊车如图8—6a 所示，横梁用25a 号工字钢制成，梁长l =4m ，斜杆与横梁的夹角 30=α，电葫芦重1Q ＝4kN ，起重量2Q ＝20kN ，材料的许用应力[]σ＝100MPa 。

试校核横梁的强度。

解：(1)外力计算 取横梁AB 为研究对象，其受力图如图8—6b 所示。

梁上载荷为KN Q Q P 2421=+=，右端斜杆的拉力S 可分解为B X 、B Y 两个分力。

横梁在横向力P 和A Y 、BY 作用下产生弯曲；同时在A X 和B X 作用下产生轴向压缩。

这是一个弯曲与压缩组合的构件。

当载荷移动到梁的中点时，可近似地认为梁处于危险状态。

此时，由平衡条件∑=0A M ， 02=•-lP l Y B 得KN PY B 122==而KN Y X B B 8.20577.01230tan ===又由平衡条件∑=0Y 和∑=0X ，得：KN Y A 12=KN X A 8.20=(2)内力和应力计算 根据横梁的受力情形，和上面求得的数值，可以绘出横梁的弯矩图如图8—6c 所示。

在梁中点截面上的弯矩最大，其值为m N Pl M •=⨯==2400044240004max 从型钢表上查得25a 号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为： 242105.485.48m cm A -⨯== 36210402402m cm W Z -⨯==所以最大弯曲应力为MPa Pa W M Z B 60107.59104022400066max max ≈⨯≈⨯==-σ 其分布如图8—6e 所示，梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。

横梁所受的轴向压力为 B X N =则危险截面上的压应力为MPa Pa A X A N B c 29.41029.400485.0208006-=⨯-=-=-=-=σ 并均匀分布于横截面上，如图8—6d 所示。

故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为(图8—6f)：MPa W M A N Z c 3.646029.4maxmax -≈--=--=σMPa W M A N Zt 7.556029.4max max ≈+-=+-=σ (3)强度校核 曲于工字钢的抗拉与抗压能力相同，故只校核正应力绝 对值最大处的强度即可，即[]σσ<=MPa c 64max由计算可知，此悬臂吊车的横梁是安全的、例-8-2 图8—7a 所示的钻床，钻孔时受到压力P=15kN 。

已知偏心矩e ＝40cm ，铸铁立柱，的许用拉应力[]t σ=35MPa ，许用压应力[]c σ=120MPa ，试计算铸铁立柱所需的直径。

解：(1)计算内力立柱在力P 作用下产生偏心拉伸-，将立柱假想地截开，取上段为研究对象(图8-7b)，由平衡条件，不难求得立柱的轴力和弯矩分别为： N P N 15000==m N Pe M •=⨯==60004.015000(2)选择立柱直径 由于铸铁的许用拉应力[]t σ小手许用压应力[]c σ，因此，应根据最大拉应力m ax t σ来进行强度计算。

由公式(8—4)，[]t Zt W Pe A N σσ≤+=max 得6321035326000415000⨯≤+d d ππ 解此方程就能得到立柱的直径d 。

但因这是一个三次方程，求解较繁。

因此，在设计计算中常采用一种简便的方法。

一般在偏心距较大的情况下，偏心拉伸(或压缩)杆件的弯曲正应力是主要的，所以可先按弯曲强度条件求出立柱的一个近似直径，然后将此直径的数值稍微增大，再代入偏心拉伸的强度 条件(式8—4)中进行校核，如数值相差较大，再作调整，如此逐步逼近，最后可求得满足此方程的直径。

在此题中，先考虑弯曲强度条件[]σ≤ZW M即63103532326000⨯≤d π 由此解得立柱的近似直径m d 12.0=将其稍加增大，现取m d 12.0=，再代入偏心拉伸的强度条件校核，得[]MPa MPa t 355.32105.3232125.014.360004125.014.315000622max =<=⨯=⨯+⨯=σσ 满足强度条件，最后选用立柱直径m d 125.0=。

例8—3 一带槽钢板受力如图8—8a 所示，已知钢板宽度b ＝8cm ，厚度δ＝1cm ，边缘上半圆形槽 的半径r ＝lcm ，已知拉力P ＝80kN ，钢板许用应力[]σ＝140MPa 。

试对此钢板进行强度校核。

解：由于钢板在截面I--I 处有一半圆槽，因而外力P 对此截面为偏心拉伸，其偏心距之值为cm r r b b e 5.021222===--=截面I--I 处的轴力和弯矩分别为： N KN P N 8000080===m N Pe M •=⨯==400005.080000轴力N 和弯矩M 在半圆槽底部的。

点处都引起拉应力(图8—8b)，此处即为危险点。

由式(8—4)得最大拉应力为[]σδδσ>=⨯=-⨯⨯+-⨯=-+-=MPa Pa r b Pe r b P t 3.163103.163)01.008.0(01.04006)01.008.0(01.0800006)()(622max计算结果表明，钢板在截面I--I 处的强度不够。